Gọi tên khu vui chơi hình chữ nhật là ABCD

Đặt OA=x (0<x<10) (cm)

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông ADO, ta có AD = \(\sqrt{10^2-x^2}\) \(\le\) x\(^2\) + 10\(^2\) - x\(^2\) = 100 (cm\(^2\))

Dấu "=" xảy ra, khi x=\(\sqrt{10^2-x^2}\)

\(x^2\) = 10\(^2\) - \(x^2\)

x= \(5\sqrt{2}\) (cm)

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi là 100 cm\(^2\) và đạt được khi hai cạnh lần lượt là 5\(\sqrt{2}\)cm và \(10\sqrt{2}\)cm

a, Gọi I là trung điểm của OM. Xét tam giác vuông MAO có AI là trung tuyến nên AI=IM=IO (1)

Tương tự, xét tam giác MBO có BI=IM=IO (2)

Từ (1) và (2), suy ra AI=IM=IO=IB. Vậy A,M,B,O cùng thuộc đường tròn tâm I, bán kính IA

b, Gọi H là giao điểm OM và AB. Theo tính chất, hai tiếp tuyến cắt nhau ta có OM là phân giác góc AOB

Mặt khác ABO là tam giác cân tại O, nên OH cũng là đường cao, đường trung tuyến của tam giác AOB

Khi đó AH=BH=3cm

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác vuông AHO, ta có

HO= \(\sqrt{AO^2-AH^2}\) = \(\sqrt{5^2-3^2}\) = 4 (cm)

Ta có sin góc AOH = \(\dfrac{AH}{AO}\) = \(\dfrac{3}{5}\)

Suy ra góc AOB = 2 góc AOH \(\simeq\) 74 độ

c, Ta có cos góc AOH = \(\dfrac{OH}{AO}\) = \(\dfrac{4}{5}\)

Xét tam giác vuông MAO, ta có

cos góc AOH = cos góc AOM = \(\dfrac{AO}{OM}\)

Suy ra \(\dfrac{AO}{OM}\) = \(\dfrac{4}{5}\), khi đó OM = \(\dfrac{5OA}{4}\)=\(\dfrac{25}{4}\) (cm)

Xét tam giác cân OMD có OA là đường cao nên cũng là phân giác, đường trung tuyến

Suy ra góc DOC = 4 góc AOM = 4 góc AOH \(\simeq\) 148 độ

Hay số đo cung nhỏ CD bằng 148 độ

Do đó điện tích hình quạt ứng với cung nhỏ CD là

Sq = \(\dfrac{n}{360}\).πR\(^2\)= \(\dfrac{148}{360}\) .π.(\(\dfrac{25}{4}\))\(^2\)\(\simeq\) 50 (cm\(^2\))

Xét tam giác ADC, ta có: góc ADC + góc ACD = 90 độ

Xét tam giác vuông ABC, ta có: góc ACB + góc ACD = 90 độ

Suy ra góc ACD = góc ADC

Khi đó tan góc ACB = tan góc ADC

Hay \(\dfrac{AB}{AC}\) = \(\dfrac{AC}{AD}\)

Suy ra AB= \(\dfrac{AC.AC}{AD}\)=\(\dfrac{30.30}{20}\)=45 (m)

Từ đó ta tính được góc ACB \(\simeq\) 56 độ

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA$\perp$BC 

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó; ΔBCD vuông tại C

=>BC$\perp$CD

mà OA$\perp$BC

nên OA//CD
c: AO là đường trung trực của BC

=>AO$\perp$BC tại K và K là trung điểm của BC

Xét ΔBAO vuông tại B có BK là đường cao

nên $OK\cdot OA=O{B}^2=6^2=36$

Xét ΔBAO vuông tại B có $sinBAO=\genfrac{}{}{0ex}{}{BO}{OA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{12}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$

nên $\widehat{BAO}=30^0$

Gọi x là số máy in nhà xuất bản sử dụng (với $1\le x\le 14;x\in N$)

Chi phí cài đặt là: $120x$ (ngàn đồng)

Trong 1 giờ nhà máy sản xuất được: $30x$ ấn phẩm

Số giờ để sản xuất hết 4000 ấn phẩm là: $\genfrac{}{}{0ex}{}{4000}{30x}=\genfrac{}{}{0ex}{}{400}{3x}$ giờ

Chi phí giám sát là: $90.\genfrac{}{}{0ex}{}{400}{3x}=\genfrac{}{}{0ex}{}{12000}{x}$ ngàn đồng

Tổng chi phí là:

$120x+\genfrac{}{}{0ex}{}{12000}{x}=120\left(x+\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{x}\right)\ge 120.2\sqrt{x.\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{x}}=2400$

Dấu "=" xảy ra khi $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{x}\Rightarrow x=10$

Vậy nhà máy nên sử dụng 10 máy in

Ta có: ABDE là hình chữ nhật

=>AB=ED

=>AB=10(m)

Xét ΔABE vuông tại A có $tanABE=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{AB}$
=>$\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{10}=tan10$

=>$AE=10\cdot tan10\simeq 1,76\left(m\right)$

Xét ΔBAC vuông tại A có $tanABC=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{AB}$

=>$AC=10\cdot tan55\simeq 14,28\left(m\right)$

Chiều cao của tháp là:

14,28+1,76=16,04(m)

Đổi 1h25 phút =17/12 giờ

1 giờ 30 phút =3/2 giờ

Gọi vận tốc riêng của cano là x (km/h) và vận tốc của dòng nước là y (km/h) với x;y>0

Vận tốc cano khi xuôi dòng là: $x+y$ (km/h)

Vận tốc cano khi ngược dòng là: $x-y$ (km/h)

Do cano xuôi dòng 20km rồi ngược dòng 18km hết 17/12 giờ nên ta có pt:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{12}$ (1)

Do cano xuôi dòng 15km rồi ngược dòng 24km hết 3/2 giờ nên ta có pt:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$\{\begin{array}{c}\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{12}\\ \genfrac{}{}{0ex}{}{15}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{c}\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x+y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{30}\\ \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{24}\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}x+y=30\\ x-y=24\end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{c}x=27\\ y=3\end{array}$
 

ĐKXĐ: x>=0; x$\notin \left\{4;9\right\}$

a: $A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\right):\left(2-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)$

$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\right):\genfrac{}{}{0ex}{}{2\sqrt{x}+2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2+\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2+x-9-x+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

b: $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{A}<=-\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}$

=>$\genfrac{}{}{0ex}{}{x-4}{\sqrt{x}+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}<=0$

=>$\genfrac{}{}{0ex}{}{2\left(x-4\right)+5\sqrt{x}+5}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}<=0$

=>$2x+5\sqrt{x}-3<=0$

=>$2x+6\sqrt{x}-\sqrt{x}-3<=0$

=>$\left(\sqrt{x}+3\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)<=0$

=>$2\sqrt{x}-1<=0$

=>$\sqrt{x}<=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$

=>$0<=x<=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}$
 

Ta có: $A=\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$

$=\sqrt{4-2\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}+1\right)$

$=\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)$

=3-1

=2

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA$\perp$BC tại H và H là trung điểm của BC

b: Xét (O) có

ΔBED nội tiếp

BD là đường kính

Do đó: ΔBED vuông tại E

=>BE$\perp$AD tại E

Ta có: $\widehat{ABE}+\widehat{DBE}=\widehat{ABD}=90^0$

$\widehat{ADB}+\widehat{DBE}=90^0$(ΔBED vuông tại E)

Do đó: $\widehat{ABE}=\widehat{ADB}$

Xét ΔABD vuông tại B có BE là đường cao

nên $AE\cdot AD=A{B}^2$