a. Rút gọn $P$.

\(P=\dfrac{x}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)}+\dfrac{2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}+2\right)}+\dfrac{\text{x+2}}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\dfrac{\text{x( x ​ +2)+2( x ​ −1)+x+2 ​ }}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\) 

\(P=\dfrac{x\sqrt{x}+2x+2\sqrt{x}-2+x+2}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}\)

\(P=\dfrac{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}{\sqrt{x}\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)  

\(P=\dfrac{\sqrt{x}-1}{\sqrt{x}+1}\)

b. Tính $P$ khi \(x=3+2\sqrt{2}\)

Xét \(x=3+2\sqrt{2}\)(tmđk)

\(\sqrt{x}=\sqrt{2+2\sqrt{2}+1}=\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2}=\sqrt{2}+1\)

Khi đó:

\(P=\dfrac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-1}=\dfrac{\sqrt{2}+1+1}{\sqrt{2}+1-1}=\dfrac{\sqrt{2}+2}{\sqrt{2}}=1+\sqrt{2}\)

\(A=2\sqrt{80}-2\sqrt{245}+2\sqrt{180}\)

\(A=2\sqrt{16.5}-2\sqrt{49.5}+2\sqrt{36.5}\)

\(A=8\sqrt{5}-14\sqrt{5}+12\sqrt{5}\)

\(A=6\sqrt{5}\)

Gọi tên khu vui chơi hình chữ nhật là $ABCD$.

Đặt $OA=x$ $(0<x<10)$ (cm).

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông $ADO$, ta có: AD=102−x2AD =\(\sqrt{10^2-x^2}\left(cm\right)\)

Khi đó diện tích của khu vui chơi là:

AD.AB=2x.102−x2≤x2+102−x2=100AD.AB=2x.

AD.AB=2\(x.\sqrt{10^2-x^2}\le10^2-x^2=100\left(cm^2\right)\)

Dấu “=” xảy ra, khi \(x=\sqrt{10^2-x^2}\)x=102−x2

Vậy diện tích lớn nhất của khu vui chơi là $100$ \(cm^2\) và đạt được khi hai cạnh lần lượt là \(5\sqrt{2}cm\)52 và \(10\sqrt{2}cm\)

a) Gọi $I$ là trung điểm của $OM$. Xét tam giác vuông $MAO$ có $AI$ là trung tuyến nên $AI=IM=IO$ (1)

Tương tự, xét tam giác $MBO$ có $BI=IM=IO$ (2)

Từ (1) và (2), suy ra $AI=IM=IO=IB$. Vậy $A,M,B,O$ cùng thuộc đường tròn tâm $I$, bán kính $IA$.

b) Gọi $H$ là giao điểm của $OM$ và $AB$. Theo tính chất, hai tiếp tuyến cắt nhau ta có $OM$ là phân giác góc $AOB$.

Mặt khác $AOB$ là tam giác cân tại $O$, nên $OH$ cũng là đường cao, đường trung tuyến của $\Delta AOB$.

Khi đó $AH=BH=3$ cm.

Áp dụng định lí Pythagore cho tam giác vuông $AHO$, ta có:

\(HO=\sqrt{AO^2-AH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)\)

Ta có \(\sin\widehat{AOH}=\dfrac{AH}{AO}=\dfrac{3}{5}\)

Suy ra \(\widehat{AOB}=2\widehat{AOH}\approx74^{\text{∘}}\)

c) Ta có \(\cos\widehat{AOH}=\dfrac{OH}{AO}=\dfrac{4}{5}\)

Xét tam giác vuông $MAO$, ta có:

\(\cos\widehat{AOH}=\cos\widehat{AOM}=\dfrac{AO}{OM}\)

Suy ra \(\dfrac{AO}{OM}=\dfrac{4}{5}\), khi đó \(OM=\dfrac{5OA}{4}=\dfrac{25}{4}\left(cm\right)\)

Xét tam giác cân $OMD$ có $OA$ là đường cao nên cũng là phân giác, đường trung tuyến

Suy ra \(\widehat{DOC}=4\widehat{AOM}=4\widehat{AOH}\approx148^{\text{∘ }}\). Hay số đo cung nhỏ CD=148\(^{\text{∘ }}\)
 

Do đó diện tích hình quạt ứng với cung nhỏ $CD$ là:

\(S_q=\dfrac{n}{360}.\pi R^2=\dfrac{148}{360}.\pi\left(\dfrac{25}{4}\right)^2\approx50\left(cm^2\right)\)

​

Xét tam giác vuông ADC, ta có: \(\widehat{ADC}+\widehat{ACD}=90^{\text{°}}\)

Xét tam giác vuông ABC, ta có:\(\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=90^{\text{°}}\)

Suy ra: \(\widehat{ACB}=\widehat{ADC}\)

Khi đó \(\tan ACB=\tan ADC\)

Hay \(\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{AC}{AD}\)

Suy ra AB = \(\dfrac{AC.AC}{AD}=\dfrac{30.30}{30}=45\)(m)

Từ đó tính được  \(\widehat{ACB}\approx56^{\text{°}}\)

Gọi số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là $x$ (công nhân), $y$ (ngày).

Điều kiện: $x>10,y>2\; ,x\in N$.

Lượng công việc theo dự định là $xy$ (ngày công).

Trường hợp 1: Số công nhân là $x+10$ (công nhân), số ngày là $y-2$ (ngày).

Do đó lượng công việc là $(x+10)(y-2)$ (ngày công).

Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình

$(x+10)(y-2)=xy$

$-2x+10y=20(1)$

Trường hợp 2: Số công nhân là $x-10$ (công nhân), số ngày là $y+3$ (ngày).

Do đó lượng công việc là $(x-10)(y+3)$ (ngày công).

Vì lượng công việc không đổi nên ta có phương trình

$(x-10)(y+3)=xy$

hay $3x-10y=30(2)$

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình

\(\left\{{}\begin{matrix}-2x+10y=20\\3x-10y=30\end{matrix}\right.\)

\(\left\{{}\begin{matrix}x=50\\y=12\end{matrix}\right.\)(thỏa mãn điều kiện xác định)

Vậy số công nhân và số ngày theo dự định lần lượt là $50$ (công nhân), $12$ (ngày).

a. Rút gọn P

Điều kiện:\(0< a\ne1\)

$\backslash (P=\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash sqrt\{a\}\}\{2\}-\backslash dfrac\{1\}\{2\backslash sqrt\{a\}\}\backslash right)^2.\backslash left(\backslash dfrac\{\backslash sqrt\{a\}-1\}\{\backslash sqrt\{a\}+1\}-\backslash dfrac\{\backslash sqrt\{a\}+1\}\{\backslash sqrt\{a\}-1\}\backslash right)\backslash )$

\(P=\left(\dfrac{a-1}{2\sqrt{a}}\right)^2.\left(\dfrac{\left(\sqrt{a}-1\right)^2-\left(\sqrt{a}+1\right)^2}{a-1}\right)\)

\(P=\dfrac{\left(a-1\right)^2}{4a}.\dfrac{-4\sqrt{a}}{a-1}\)

\(P=\dfrac{1-a}{\sqrt{a}}\)

b. Tìm các giá trị của $a$ để $P<0$.

Để $P<0$ thì \(\dfrac{1-a}{\sqrt{a}}< 0\)

Khi đó 1-a <0(vì \(\sqrt{a}>0\))

1−aa<0

hay a>1 (đpcm)

vậy a>1 thì P>0

\(A=2\sqrt{12}-\sqrt{48}+3\sqrt{27}-\sqrt{108}\)

\(A=2.2\sqrt{3}-4\sqrt{3}+9\sqrt{3}-6\sqrt{3}\) 

\(A=3\sqrt{3}\)

a) 7x + 2 = 0

7x = 0 - 2

7x = -2

x = -2/7

Vậy S = {-2/7}

b) 18 - 5x = 7 + 3x

3x + 5x = 18 - 7

8x = 11

x = 11/8

a) 7x + 2 = 0

7x = 0 - 2

7x = -2

x = -2/7

Vậy S = {-2/7}

b) 18 - 5x = 7 + 3x

3x + 5x = 18 - 7

8x = 11

x = 11/8