a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA$\perp$BC 

b: Xét (O) có

ΔBCD nội tiếp

BD là đường kính

Do đó; ΔBCD vuông tại C

=>BC$\perp$CD

mà OA$\perp$BC

nên OA//CD
c: AO là đường trung trực của BC

=>AO$\perp$BC tại K và K là trung điểm của BC

Xét ΔBAO vuông tại B có BK là đường cao

nên $OK\cdot OA=O{B}^2=6^2=36$

Xét ΔBAO vuông tại B có $sinBAO=\genfrac{}{}{0ex}{}{BO}{OA}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{12}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$

nên $\widehat{BAO}=30^0$

Gọi x là số máy in nhà xuất bản sử dụng (với $1\le x\le 14;x\in N$)

Chi phí cài đặt là: $120x$ (ngàn đồng)

Trong 1 giờ nhà máy sản xuất được: $30x$ ấn phẩm

Số giờ để sản xuất hết 4000 ấn phẩm là: $\genfrac{}{}{0ex}{}{4000}{30x}=\genfrac{}{}{0ex}{}{400}{3x}$ giờ

Chi phí giám sát là: $90.\genfrac{}{}{0ex}{}{400}{3x}=\genfrac{}{}{0ex}{}{12000}{x}$ ngàn đồng

Tổng chi phí là:

$120x+\genfrac{}{}{0ex}{}{12000}{x}=120\left(x+\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{x}\right)\ge 120.2\sqrt{x.\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{x}}=2400$

Dấu "=" xảy ra khi $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{100}{x}\Rightarrow x=10$

Vậy nhà máy nên sử dụng 10 máy in

Ta có: ABDE là hình chữ nhật

=>AB=ED

=>AB=10(m)

Xét ΔABE vuông tại A có $tanABE=\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{AB}$
=>$\genfrac{}{}{0ex}{}{AE}{10}=tan10$

=>$AE=10\cdot tan10\simeq 1,76\left(m\right)$

Xét ΔBAC vuông tại A có $tanABC=\genfrac{}{}{0ex}{}{AC}{AB}$

=>$AC=10\cdot tan55\simeq 14,28\left(m\right)$

Chiều cao của tháp là:

14,28+1,76=16,04(m)

Đổi 1h25 phút =17/12 giờ

1 giờ 30 phút =3/2 giờ

Gọi vận tốc riêng của cano là x (km/h) và vận tốc của dòng nước là y (km/h) với x;y>0

Vận tốc cano khi xuôi dòng là: $x+y$ (km/h)

Vận tốc cano khi ngược dòng là: $x-y$ (km/h)

Do cano xuôi dòng 20km rồi ngược dòng 18km hết 17/12 giờ nên ta có pt:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{12}$ (1)

Do cano xuôi dòng 15km rồi ngược dòng 24km hết 3/2 giờ nên ta có pt:

$\genfrac{}{}{0ex}{}{15}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$ (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ:

$\{\begin{array}{c}\genfrac{}{}{0ex}{}{20}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{18}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{17}{12}\\ \genfrac{}{}{0ex}{}{15}{x+y}+\genfrac{}{}{0ex}{}{24}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}\end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{c}\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x+y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{30}\\ \genfrac{}{}{0ex}{}{1}{x-y}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{24}\end{array}$

$\Rightarrow \{\begin{array}{c}x+y=30\\ x-y=24\end{array}$ 

$\iff \{\begin{array}{c}x=27\\ y=3\end{array}$
 

a: $A=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{x-5\sqrt{x}+6}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+3}{2-\sqrt{x}}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\right):\left(2-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\right)$

$=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}+\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+3}{\sqrt{x}-2}-\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-3}\right):\genfrac{}{}{0ex}{}{2\sqrt{x}+2-\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2+\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)-\left(\sqrt{x}+2\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+2+x-9-x+4}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}\cdot \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}$

$=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}-3}{\left(\sqrt{x}-3\right)\left(\sqrt{x}-2\right)}\cdot \genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}+2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{\sqrt{x}+1}{\left(\sqrt{x}-2\right)\left(\sqrt{x}+2\right)}$

b: $\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{A}<=-\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}$

=>$\genfrac{}{}{0ex}{}{x-4}{\sqrt{x}+1}+\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{2}<=0$

=>$\genfrac{}{}{0ex}{}{2\left(x-4\right)+5\sqrt{x}+5}{2\left(\sqrt{x}+1\right)}<=0$

=>$2x+5\sqrt{x}-3<=0$

=>$2x+6\sqrt{x}-\sqrt{x}-3<=0$

=>$\left(\sqrt{x}+3\right)\left(2\sqrt{x}-1\right)<=0$

=>$2\sqrt{x}-1<=0$

=>$\sqrt{x}<=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}$

=>$0<=x<=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{4}$
 

Ta có: $A=\sqrt{2-\sqrt{3}}\cdot \left(\sqrt{6}+\sqrt{2}\right)$

$=\sqrt{4-2\sqrt{3}}\left(\sqrt{3}+1\right)$

$=\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)$

=3-1

=2

Một khu đất hình chữ nhật có chiều rộng 35 m và chiều dài 75.Trên khu đất đó,người ta trồng câu và xây dựng các công trình hết 1125m^2.Phần đất còn lại hình chữ nhật người ta xây dựng một bể bơi hình chữ nhật,xung quanh có lối đi dạo rộng 5 m được lát gạch chống trơn.Biết diện tích của bể bơi đó bằng 2/7 diên tích của mảnh đất ban đầu.Tính các kích thước của bể bơi.

a: Xét tứ giác MAOB có $\widehat{MAO}+\widehat{MBO}=90^0+90^0=180^0$

nên MAOB là tứ giác nội tiếp

=>M,A,O,B cùng thuộc một đường tròn

b: Gọi H là giao điểm của AB và OM

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: MA=MB

=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)

Ta có: OA=OB

=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)

Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB

=>MO$\perp$AB tại H và H là trung điểm của AB

=>OH là khoảng cách từ O đến đường thẳng d

H là trung điểm của AB

=>$HA=HB=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{2}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{2}=3\left(cm\right)$

ΔOHA vuông tại H

=>$O{H}^2+H{A}^2=O{A}^2$

=>$OH=\sqrt{5^2-3^2}=4\left(cm\right)$

=>Khoảng cách từ O đến đường thẳng d là 4cm

Xét ΔAOH vuông tại H có $sinAOH=\genfrac{}{}{0ex}{}{AH}{AO}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{5}$

nên $\widehat{AOH}\simeq 36^0$

Xét (O) có

MA,MB là các tiếp tuyến

Do đó: OM là phân giác của góc AOB

=>$\widehat{AOB}=2\cdot \widehat{AOH}\simeq 72^0$

Xét ΔCBD vuông tại C có CA là đường cao

nên $C{A}^2=AB\cdot AD$

=>$AB=\genfrac{}{}{0ex}{}{30^2}{20}=\genfrac{}{}{0ex}{}{900}{20}=45\left(m\right)$

Xét ΔABC vuông tại A có $tanACB=\genfrac{}{}{0ex}{}{AB}{AC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{45}{30}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$

nên $\widehat{ACB}\simeq 56^{0}18^{\prime }$

Gọi số công nhân cần có theo dự định và số ngày dự định sẽ hoàn thành công việc lần lượt là x(người) và y(ngày)

(Điều kiện: $x,y\in Z^{+};x>10;y>2$)

Nếu tăng thêm 3 công nhân thì công việc hoàn thành sớm 2 ngày nên (x+3)(y-2)=xy

=>xy-2x+3y-6=xy

=>-2x+3y=6(1)

Nếu bớt đi 10 công nhân thì công việc hoàn thành muộn 3 ngày nên (x-10)(y+3)=xy

=>xy+3x-10y-30=xy

=>3x-10y=30(2)

Từ (1),(2) ta có hệ phương trình:

$\{\begin{array}{c}-2x+3y=6\\ 3x-10y=30\end{array}$

=>$\{\begin{array}{c}-6x+9y=18\\ 6x-20y=60\end{array}\iff \{\begin{array}{c}-6x+9y+6x-20y=18+60\\ -2x+3y=6\end{array}$

=>$\{\begin{array}{c}-11y=78\\ -2x=6-3y\end{array}\iff \{\begin{array}{c}y=-\genfrac{}{}{0ex}{}{78}{11}\\ x=\genfrac{}{}{0ex}{}{3y-6}{2}\end{array}\left(loại\right)$

=>Đề sai rồi ạ