a). Do ABCD là hình bình hành nên AD // BC và AD = BC

Do AD // BC nên góc ADB = góc CBD ( 2 góc so le trong)

Xét tam giác ABH và tam giác CBK có:

      Góc AHD = góc CKB = 90 độ

      AD = BC ( cm trên)

      Góc ADH = góc CBK ( Góc ADB = góc CBD )

Suy ra tam giác ABH = tam giác CBK ( Cạnh huyền - góc nhọn)

Suy ra AH = CK ( 2 cạnh tương ứng)

Ta có AH vuông góc với DB; CK vuông góc với DB nên AH // CK

Xét tứ giác AHCK có:

AH // CK ( cm trên )

AH = CK ( cm trên )

Do đó tứ giác AHCK là hình bình hành

b). Do AHCK là hình bình hành ( cm a) nên 2 đường chéo AH và CK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của HK (gt) nên I là trung điểm của AC

Vì ABCD là hình bình hành nên 2 đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường

Mà I là trung điểm của AC nên I là trung điểm của BD, hay IB = ID

a) ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD nên O là trung điểm của BD.

Do EBFD là hình bình hành nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD nên O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (gt) nên G là trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra GM = GB/2; GN = GC/2 ( Tính chất trọng tâm của tam giác) (1)

Mà P là trung điểm của GB (gt) nên GP = PB = GB/2 (2)

      Q là trung điểm của GC (gt) nên GQ = QC = GC/2 (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra GM = GP và GN = GQ

Xét tứ giác PQMN có:

GM = GP ( cm trên )

GN = GQ ( cm trên )

Do đó tứ giác PQMN có 2 đường chéo MP và NQ cắt nhau tại trung điểm G của mỗi đường nên là hình bình hành

Vì ABCD là hình bình hành nên ta có:

+. Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OB: OC= OD

+. AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM = góc OCN ( 2 góc so le trong)

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

     Góc OAM = góc OCN ( cm trên )

     OA = OC ( cm trên )

     Góc OAM = góc CON ( 2 góc đối đỉnh)

Suy ra tam giác AOM = tam giác OCN (g.c.g)

Suy ra AM = CN ( 2 cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD ( cm trên)

AB = AM +BM ; CD = CN + DN

Suy ra BM + DN

Xét tứ giác MBND có:

BM // DN ( AB // CD)

BM = DN ( cm trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành

a) Vì ABCD là hình bình hành nên AB = CD, AB // CD.

Mà E, F lần lượt là trung điểm của AB, CD nên AE = BE = 1/2 12

​AB, CF = DF = 1/2 12
​CD

Do đó AE = BE = CF = DF.

Xét tứ giác AEFD có:

     AE // DF (vì AB // CD);

     AE = DF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AEFD là hình bình hành.

Xét tứ giác AECF có:

     AE // CF (vì AB // CD);

     AE = CF (chứng minh trên)

Do đó tứ giác AECF là hình bình hành.

Vậy hai tứ giác AEFD, AECF là những hình bình hành.

b) Vì tứ giác AEFD là hình bình hành nên EF = AD.

Vì tứ giác AECF là hình bình hành nên AF = EC.

Vậy EF = AD, AF = EC.