a + b = m
a - b = n
=> a = (m + n)/2
     b = (m - n)/2
Có: a.b = (m + n)/2.(m - n)/2
            = (m^2 - n^2)/4
=> a^3 - b^3 = (m + n)^3/2^3 - (m - n)^2/2^3
                   = (m + n)^3/8 - (m - n)^3/8
                    = [(m + n)^3 - (m - n)^3]/8
                   = [(m + n - m + n)((m + n)^2 + (m + n)(m - n) + (m - n)^2)]/8
                   = [n(m^2 + n^2 + 2mn + m^2 - n^2 + m^2 + n^2 - 2mn)]/8
                   = n(3m^2 + 2n^2)/8
                   = m^2n − (m^2−n^2)/4 .n

Nếu ta chọn một tập toàn số chẵn thì a^2+b^2 là hợp số. Trong tập A lại có 8 số chẵn nên k>8=>k>=9. Ta sẽ chứng minh k=9 là giá trị nhỏ nhất cần tìm.

Xây dựng dãy gồm 8 phần tử:

(1,4);(2,3);(5,8);(6,11);(7,10);(9,16);(12,13);(14,15)

Theo dirichlet toàn tại 2 phần tử cùng thuộc 1 số trong dãy trên nên ta sẽ có ngay điều phải chứng minh (Do tổng bình phương các số trong đó đều là snt)
 

 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy

⇔ (x2 - 4xy + 4y2) + (3x2 + 6x +3) ≥ 0

⇔ (x - 2y)2 + 3.(x+1)2 ≥ 0

Do (x - 2y)2 ≥ 0 ∀x,y ϵ R và (x+1)2 ≥ 0 ∀x,y ϵ R 

=> 4x2 + 4y2 + 6x + 3 ≥ 4xy ; ∀x,y ϵ R (đpcm) 

n lẻ nên n=2m+1 (mϵZ)

n³=(2m+1)³

   =8m³+12m²+6m+1

   =2(4m³+6m²+3m)+1

mà 2(4m³+6m²+3m)⋮2 =>2(4m³+6m²+3m) là số chẵn

=> 2(4m³+6m²+3m)+1 là số lẻ
=> n³ lẻ (đpcm)

a hoặc c

a

8

4