Cách biểu diễn đúng là:

• 1: 1, 2, 3, 4
• 2: 1, 2, 5, 6
• 3: 1, 3, 4, 5
• 4: 1, 4, 5, 6

Bài 31:

• Ư(5): Tất cả các số chia hết cho 5, trong đó có 5, 10, 15, và 20.
• Ư(6): Tất cả các số chia hết cho 2 và 3, trong đó có 6, 12, và 18.
• Ư(10): Tất cả các số chia hết cho 2 và 5, trong đó có 10 và 20.
• Ư(2): Tất cả các số chia hết cho 2, trong đó có 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, và 20.
• B(5): Tất cả các số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25, trong đó có 5, 10, và 15.
• B(6): Tất cả các số chia hết cho 6 nhưng không chia hết cho 30, trong đó có 6 và 12.
• B(10): Tất cả các số chia hết cho 10 nhưng không chia hết cho 50, trong đó có 10 và 20.
• B(12): Tất cả các số chia hết cho 12 nhưng không chia hết cho 60, trong đó có 12.
• B(20): Tất cả các số chia hết cho 20 nhưng không chia hết cho 40, trong đó có 20.

Bài 32:

• B(3): Tất cả các số chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9, trong đó có 121, 201, 312, 501, và 630.
• B(5): Tất cả các số chia hết cho 5 nhưng không chia hết cho 25, trong đó có 125, 220, 421, 595, và 1780.

Bài 33:

• Ư(250): Tất cả các số chia hết cho 250, trong đó có 1, 2, 4, 5, 8, 10, 12, 16, 20, 25, 32, 40, 50, 64, 80, 100, 125, 160, 200, và 250.
• B(11): Tất cả các số chia hết cho 11 nhưng không chia hết cho 121, trong đó có 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, và 99.

1.     2 chia hết cho x

Ta có 2 là số chẵn, nên x phải là số chẵn. Vậy các số tự nhiên x thỏa mãn là x = 2, 4, 6, …

2.     2 chia hết cho (x + 1)

Ta có 2 chia hết cho (x + 1) khi và chỉ khi x + 1 là số chẵn. Điều này tương đương với x là số lẻ. Vậy các số tự nhiên x thỏa mãn là x = 1, 3, 5, …

3.     2 chia hết cho (x + 2)

Ta có 2 chia hết cho (x + 2) khi và chỉ khi x + 2 là số chẵn. Điều này tương đương với x là số chẵn. Vậy các số tự nhiên x thỏa mãn là x = 0, 2, 4, …

4.     2 chia hết cho (x - 1)

Ta có 2 chia hết cho (x - 1) khi và chỉ khi x - 1 là số chẵn. Điều này tương đương với x là số lẻ. Vậy các số tự nhiên x thỏa mãn là x = 3, 5, 7, …

a)Ta có:

AO=BO=OC=DO (vì O là trung điểm của AC và BD)

AH=HI=IL=KL (vì H, I, K, L lần lượt là hình chiếu của O trên AB, BC, CD, DA)

AO=AH+HO

BO=HI+HO

CO=IL+HO

DO=KL+HO

AH+HO=HI+HO=IL+HO=KL+HO

AH=HI=IL=KL

Vậy, bốn đoạn thẳng AH, HI, IL, KL bằng nhau và có chung điểm cuối H. Do đó, bốn điểm H, I, K, L cùng nằm trên một đường tròn có tâm O.

b) Ta có:

AH=HI=IL=KL=AC/2

AO=BO=OC=DO=AC/2

Gọi r là bán kính của đường tròn (O).

Từ các kết quả trên, ta có:

r=AC/2=4cm/2=2cm

Vậy, bán kính của đường tròn (O) là 2cm.

Được rồi, cách giải của bạn cũng đúng.

a. Chứng minh IK // DE và IK = DE

Gọi F là trung điểm của BC. Khi đó, theo tính chất trung tuyến, ta có: BF = FC = 1/2 BC và BD = 2/3 BG, CE = 2/3 CG. Do I và K là trung điểm của BG và CG nên BI = 1/2 BG, CK = 1/2 CG. Từ đó suy ra: BI = BD - DI = 2/3 BG - DI và CK = CE - EK = 2/3 CG - EK. Do DE // BC nên theo định lí Thales, ta có: DI / BI = EK / CK. Thay các giá trị đã tính được vào, ta được: DI / (2/3 BG - DI) = EK / (2/3 CG - EK). Rút gọn biểu thức trên, ta được: 3DI (BG - CG) = 3EK (BG - CG). Do BG - CG = BF - FC = 0 nên biểu thức trên luôn đúng với mọi DI và EK. Vậy IK // DE và IK = DE.

b. Chứng minh các tính chất yêu cầu

Do IK // DE nên theo định lí Thales, ta có: IM / IA = KN / AC. Do IA = AC nên IM = KN. Do PG // BC nên theo định lí Thales, ta có: PG / PA = GQ / QC. Do PA = QC nên PG = GQ. Do DE // BC nên theo định lí Thales, ta có: DE / BC = MI / MB. Do MB = 2MB’ với B’ là trung điểm của BC nên DE / (2MB’) = MI / MB. Nhân hai vế với 2, ta được: DE / MB’ = 2MI / MB. Do MB’ = MB nên DE = 3MI.

a. Gọi H là giao điểm của tia phản xạ OH với gương. Khi đó, OH là tia phản xạ của tia AB. Theo tính chất của gương phẳng, ta có: OH = AB = 1,7m và ·OAH = ·OHB. Do đó, tam giác OAH vuông cân tại H và AH = 0,85m. Gọi I là trung điểm của AH, K là trung điểm của MN. Khi đó, IK vuông góc với MN và IK = 0,85m. Do đó, chiều cao tối thiểu của gương là MN = 2.IK = 1,7m.

b. Gọi E là giao điểm của tia phản xạ OE với gương. Khi đó, OE là tia phản xạ của tia AC. Theo tính chất của gương phẳng, ta có: OE = AC = 0,69m và ·OAE = ·OEC. Do đó, tam giác OAE vuông cân tại E và AE = 0,345m. Gọi J là trung điểm của AE, L là trung điểm của MN. Khi đó, JL vuông góc với MN và JL = 0,345m. Do đó, khoảng cách từ mép dưới của gương đến sàn nhà là ML = LK - JL = 0,85 - 0,345 = 0,505m.

c. Gọi F là giao điểm của tia phản xạ OF với gương. Khi đó, OF là tia phản xạ của tia AD. Theo tính chất của gương phẳng, ta có: OF = AD = 1,7m và ·OAD = ·OFD. Do đó, tam giác OAD vuông cân tại F và AF = 0,85m. Gọi G là trung điểm của AF, N là trung điểm của MN. Khi đó, GN vuông góc với MN và GN = 0,85m. Do đó, khoảng cách từ điểm C đến sàn nhà là CN + NL + LM = CD + DL + LM = (MN - MD) + (MK - GN) + ML = (1,7 - 0,85) + (0,85 - 0,85) + 0,505 = 1,355m.

d. Gọi S là mép dưới của gương và T là mép trên của gương khi nghiêng với tường một góc α nhỏ nhất sao cho người thấy được chân mình trong gương. Khi đó:

• Tia SA phản xạ thành tia AT sao cho ·SAT = α.
• Tia SB phản xạ thành tia BT sao cho ·SBT = α.
• Tia SC phản xạ thành tia CT sao cho ·SCT = α.
• Tia SD phản xạ thành tia DT sao cho ·SDT = α.

Theo quy tắc Descartes cho gương phẳng nghiêng:

• sin(·OAS) / sin(·OAT) = sin(α) / sin(90° - α)
• sin(·OBS) / sin(·OBT) = sin(α) / sin(90° - α)
• sin(·OCS) / sin(·OCT) = sin(α) / sin(90° - α)
• sin(·ODS) / sin(·ODT) = sin(α) / sin(90° - α)

Do đó:

OAS = ·OAT = α

       OBS = ·OBT = α

      ·OCS = ·OCT = α

·ODS = ·ODT = α

Từ đó suy ra:

• OS = OA.sin(α) = 0,69.sin(α)
• OT = OA.sin(90° - α) = 0,69.cos(α)
• ST = OA.sin(90°) = 0,69
• BS = AB.sin(α) = 1,7.sin(α)
• BT = AB.sin(90° - α) = 1,7.cos(α)

Để người thấy được chân mình trong gương thì điều kiện cần và đủ là:

• BS + ST ≥ AB
• BT + ST ≥ AC

Từ hai bất đẳng thức trên, ta có:

• 1,7.sin(α) + 0,69 ≥ 1,7
• 1,7.cos(α) + 0,69 ≥ 0,69

Giải hệ bất đẳng thức trên, ta được:

• sin(α) ≥ 0,6
• cos(α) ≥ 0

Do đó:

• α ≥ arcsin(0.6)
• α ≥ 0

Vậy góc nghiêng nhỏ nhất của gương là α = arcsin(0.6) ≈ 36.87°.

$\left(x-3\right)\left(x-5\right)-{\left(x-4\right)}^2$

$=x^2-5x-3x+15-\left(x^2-8x+16\right)$

$=x^2-5x-3x+15-x^2+8x-16$

$=x^2-x^2-8x+8x+15-16=-1$

Ta có:

• Tổng số người lên xe ở 5 trạm đầu là 5 trạm x 3 người/trạm = 15 người.
• Tổng số người xuống xe ở 5 trạm đầu là 5 trạm x 2 người/trạm = 10 người.
• Tổng số người lên xe ở 3 trạm cuối là 3 trạm x 3 người/trạm = 9 người.

Do đó, tổng số người lên xe là 15 người + 9 người = 24 người.

Lúc đầu xe có 10 người + 7 người (tính cả tài xế) = 17 người.

Vậy, lúc đầu xe có 17 người.