M=(4x+1)/(x^2+3)
<=> M(x^2+3) = 4x+1
<=>Mx^2 + 3M - 4x -1 = 0 
<=>Mx^2 - 4x + 3M-1 = 0 
 Đenta' = 4 -3M^2 + M 
Để phương trình có nghiệm <=> Đenta'_>0 hay -3M^2 + M + 4 _>0 
=> 3M^2-M-4 _<0  
Phân tích đa thức thành nhân tử , sau đó chia 2 trường hợp thì sẽ có 1 TH vô lí , và TH còn lại thì A_<M_<B gì đó , từ đó suy ra GTNN,GTLN 
 Chúc học tốt
           

Câu a),b) tự làm nhé , mình chỉ giúp câu c) thôi . 

OI vuông góc NP ( Do I là trung điểm của MP ) , OF vuông góc NP ( Do OF là đường trung trực của NP )
=> O,I,F thẳng hàng
Tam giác ONF vuông tại N , đường cao NI
=> ON^2 = OI.OF
Mà ON=OA
OA^2 = OH.OM
=> OH.OM=OI.OF
=> OH/OI=OF/OM
Xét tam giác OIM và tam giác OHF có
góc MOF chung
OH/OI=OF/OM
=> Tam giác OIM đồng dạng tam giác OHF
=> góc OHF=góc OIM (=90 độ )
OH vuông HF
mà OH vuông AB
=> A,B,F thẳng hàng
=> F nằm trên đường thẳng cố định AB khi đường thẳng d quay quanh M mà vẫn thỏa mãn các yêu cầu đề bài
Điều phải chứng minh

Tam giác CDK đồng dạng Tam giác ABO ( g.g) => CK/BA = DK/OB => CK.OB=BA.DK (1) . Tam giác DBA có IK//BA => IK/BA = DK/BD => IK.BD=BA.DK (2) . Từ (1) (2) =>CK.OB=IK.BD => CK.OB=IK.2OB=> CK=2IK . Lập luận 1 tí rồi suy ra điều phải chứng minh