a) Vì tam giác $KBC$ vuông tại $K$ suy ra $\widehat{KBH}=90^{\circ }$

Vì $CI\perp BI$ (gt) suy ra $\widehat{ClH}=90^{\circ }$

Xét $△KBH$ và $△CHI$ có:

$\widehat{KBH}=\widehat{CIH}=90^{\circ }$;

$\widehat{BHK}=\widehat{CHI}$ (đối đỉnh)

Suy ra $\Delta BHK\backsim \Delta CHI$ (g.g)

b) Ta có $\Delta BHK\backsim \Delta CHI$ suy ra $\widehat{HBK}=\widehat{HCI}$ (hai góc tương ứng) 

Mà $BH$ là tia phân giác của $\widehat{ABC}$ nên $\widehat{HBK}=\widehat{HBC}$.

Do đó $\widehat{HBC}=\widehat{HCI}$.

Xét $△CIB$ và $△HIC$ có:

$\widehat{CIB}$ chung;

$\widehat{IBC}=\widehat{HCI}$ (cmt)

Vậy $\Delta CIB\approx \Delta HIC$ (g.g) suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{CI}{HI}=\genfrac{}{}{0ex}{}{IB}{IC}$

Hay ${CI}^2=HI.IB$

c) Xét $△ABC$ có $BI\perp AC$; $CK\perp AB$; $BI\cap CK=\{H\}$

Nên $H$ là trực tâm $△ABC$ suy ra $AH\perp BC$ tại $D$.

Từ đó ta có $△BKC\backsim △HDC$ (g.g) nên $\genfrac{}{}{0ex}{}{CB}{CH}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CK}{CD}$

Suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{CB}{CK}=\genfrac{}{}{0ex}{}{CH}{CD}$ nên $△BHC\backsim △KDC$ (c.g.c)

Khi đó $\widehat{HBC}=\widehat{DKC}$ (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự $\widehat{HAC}=\widehat{IKC}$

Mà $\widehat{HAC}=\widehat{HBC}$ (cùng phụ $\widehat{ACB}$ )

Suy ra $\widehat{DKC}=\widehat{IKC}$.

Vậy $KC$ là tia phân giác của $\widehat{IKD}$.

Có $19$ kết quả cho hành động trên.

Có $8$ kết quả thuận lợi cho biến cố đã cho nên xác suất cho biến cố là: $\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{19}$.

a) $2x=7+x$

$2x-x=7$

$x=7$.

Phương trình đã cho có nghiệm $x=7$.

b) $\genfrac{}{}{0ex}{}{x-3}{5}+\genfrac{}{}{0ex}{}{1+2x}{3}=6$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{3(x-3)}{15}+\genfrac{}{}{0ex}{}{5.(1+2x)}{15}=6$

$3x-9+5+10x=90$

$13x=94$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{94}{13}$.

Phương trình đã cho có nghiệm $x=\genfrac{}{}{0ex}{}{94}{13}$.

Ta có: $AB=AD+DB$

Suy ra $DB=AB-AD=10-6=4$ cm

$AM$ là trung tuyến của $\Delta ABC$ suy ra $M$ là trung điểm của $BC$

Suy ra $BM=CM=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{2}BC=15$ cm.

 Xét $\Delta ABM$ có $MD$ là phân giác của góc $AMB$ nên

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{BM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AD}{DB}$

$\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{BM}=\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{4}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}$

Do đó $AM=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}.BM=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}.15=22,5$ (cm).

Xác suất cho biến cố "Thẻ rút ra là thẻ đánh số 3" là: $\genfrac{}{}{0ex}{}{6}{20}=\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{10}$.

Gọi vận tốc riêng của ca nô là $x$ (km/h, $x>3$).

Vận tốc ca nô khi đi xuôi khúc sông từ $A$ đến $B$ là: $x+3$ (km/h);

Vận tốc ca nô khi đi ngược khúc sông từ $B$ về $A$ là: $x-3$ (km/h);

Khúc sông $AB$ có chiều dài không đổi nên ta có phương trình: $\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}(x+3)=2(x-3)$.

Giải phương trình trên ta nhận được $x=21$ (thỏa mãn)

Do đó vận tốc riêng của ca nô là $21$ km/h.

Chiều dài khúc sông là: $2(21-3)=36$ (km).

Vậy vận tốc riêng của cano là $21$ km/h, chiều dài khúc sông là $36$ km .

a. Ta có: $3x-4=5+x$

$3x-x=5+4$

$2x=9$

$x=\genfrac{}{}{0ex}{}{9}{2}$.