Ta có: $A=x^2+2y^{2}2xy+2x6y+2028$

$=x^{2}2xy+y^2+y^2+2x-2y-4y+1+4+2023$

$=\left[x^2-2xy+\left(-y^2\right)+2x-2y+1\right]+\left(y^2-4y+4\right)+2023$

$={\left(x-y+1\right)}^2+{\left(y-2\right)}^2+2023$

Vì ${\left(x-y+1\right)}^2\ge 0$ với mọi $x,y$ và ${\left(y-2\right)}^2\ge 0$ với mọi $y$.

Suy ra $A\ge 2023$.

Vậy giá trị nhỏ nhất của $A$ là $2$ $023$ đạt được khi $x-y=-1$ và $y-2=0$ hay $x=1$ và $y=2$.

a) $3x\left(x-1\right)-1+x=0$

$3x\left(x-1\right)+\left(x-1\right)=0$

$\left(3x+1\right)\left(x-1\right)=0$

Suy ra $3x+1=0$ hoặc $x-1=0$

Vậy $x=-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}$ hoặc $x=1$

b) $x^2-9x=0$

$x\left(x-9\right)=0$

Suy ra $x=0$ hoặc $x=9$.

a) $x^2+25-10x=x^2-\mathrm{2.5.}x+5^2={\left(x-5\right)}^2$

b) $-8y^3+x^3=x^3-{\left(2y\right)}^3=\left(x-2y\right)\left(x^2+2xy+4y^2\right)$.

a) ${\left(2x+1\right)}^2=4x^2+4x+1$.

b) ${\left(a-\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}\right)}^3=a^3-3a^2.\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}+3a{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}\right)}^2-{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{b}{2}\right)}^3$

$=a^3-\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{2}{a}^{2}b+\genfrac{}{}{0ex}{}{3}{4}a{b}^2-\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{8}{b}^3$.

a) Vì $d$ // $CD$ // $AB$ nên $MP$ // $CD$ và $PN$ // $AB$.

Xét $\Delta ADC$ có $MP$ // $CD$:

     $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{MD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{AP}{PC}$( Định lí Thalès) (1)

Xét $\Delta ACB$ có $NP$ // $AB$:

     $\genfrac{}{}{0ex}{}{AP}{PC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BN}{NC}$( Định lí Thalès) (2)

Từ (1), (2) suy ra $\genfrac{}{}{0ex}{}{AM}{MD}=\genfrac{}{}{0ex}{}{BN}{NC}$

b) Chứng minh $\genfrac{}{}{0ex}{}{MP}{DC}=\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{3}$

Suy ra $MP=2$ cm

Chứng minh $\genfrac{}{}{0ex}{}{NP}{AB}=\genfrac{}{}{0ex}{}{2}{3}$.

Suy ra $PN=\genfrac{}{}{0ex}{}{8}{3}$ cm.

Tính được $MN=\genfrac{}{}{0ex}{}{14}{3}$ cm