Gọi số cần tìm là n 

Có n : 11 dư 6 => n - 6 chia hết cho 11 => n - 6 + 33 = n + 27 chia hết cho 11 (Do 33 chia hết cho 11)              (1)

Có n : 4 dư 1 => n - 1 chia hết cho 4 => n - 1 + 28 = n + 27 chia hết cho 4 (Do 28 chia hết cho 4)                     (2)

Có n : 19 dư 11 => n - 11 chia hết cho 19 => n - 11 + 38 = n + 27 chia hết cho 19 (Do 38 chia hết cho 19)       (3)

Từ (1), (2), (3) => n + 27 chia hết cho các số 4 ; 11 ; 19 => n + 27 = BCNN(4 ; 11 ; 19) = 836

Vậy n = 836 - 27 = 809

2 ngày dùng hết 1/3+1/4=7/12 bể nước

số nước còn lại là 1-7/12=5/12

số giờ để bể đầy nước là: 5/12:1/12 = 5 giờ

             Đáp số : 5 giờ

hình tròn có đường kính là 502cm . đường kính 502 cm

1/3= 4/12

1/4= 3/12

Ta có: a^5 - a = a(a^4 - 1) = a(a² - 1)(a² + 1) = a(a - 1)(a + 1)(a² + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4 + 5) 
= a(a - 1)(a + 1)[ (a² - 4) + 5) ] 
= a(a - 1)(a + 1)(a² - 4) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= a(a - 1)(a + 1)(a - 2)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
= (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) 
Do (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) là tích của 5 số nguyên liên tiếp => (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) chia hết cho 5 mà 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5 
=> (a - 2)(a - 1)a(a + 1)(a + 2) + 5a(a - 1)(a + 1) chia hết cho 5. 
=> a^5 - a chia hết cho 5 
Mà a^5 chia hết cho 5 => a chia hết cho 5. 
( Nếu a không chia hết cho 5 thì a^5 - a không chia hết cho 5 vì a^5 chia hết cho 5) 

 Chứng minh rằng nếu (5n + 1) là số chẵn thì n là số lẻ. 
Giải: Nếu 5n + 1 là số chẵn thì => 
5n + 1 có dạng 2k (k là số tự nhiên) 
=> 5n + 1 = 2k 
=> 5n = 2k - 1 
Do 2k - 1 là số lẻ => 5n là số lẻ (1) 
Nếu n là số chẵn thì 5n chẵn => mâu thuẩn với (1) 
=> n phải là số lẻ

Trời đã thủng buổi, mặt trời chói chang len qua những bóng lá rọi xuống khung cửa nan nhà. Tôi đang lụi cụi nấu ăn dưới bếp, than khói lửa hồng bốc lên dưới cái nắng ban trưa thật khiến người ta dễ bực mình. Ông nhà đang ngồi đọc mấy quyển văn của trò ông ấy, rồi cứ luôn tay phe phẩy cái quạt mo. Cơm nước đã xong đấy, toan dọn mâm lên ăn, thì bỗng nhiên, lão Hạc bước từ cửa vào. Lão hạc là hàng xóm của nhà tôi, nhà lão nghèo lắm, vợ mất, con trai vì không lấy được vợ nên bỏ đi làm ăn, để mình thân già lão ở nhà. Lão với ông nhà tôi thân nhau lắm, tuy tuổi tác chênh lệch, nhưng hai người cứ trò chuyện thì lại rôm rả, như hai người bạn tri kỉ với nhau vậy.

Lão Hạc cứ chệnh choạng , mặt cúi gằm xuống, lưỡng lự trước cửa một lúc rồi bước vào nhà. Ông nhà tôi kêu lên: Cụ đến chơi ạ” Lão Hạc không đáp lại. Lão đi từ từ, chậm rãi vào gian chính. Bực mình thật, đúng lúc người ta ăn cơm thì lại mò đến- Tôi tự nhủ một cách trách móc lão Hạc. Lạ thật! Lão ngồi phịch xuống tấm phản, không nói không rằng, cứ cúi gằm cái mặt xuống. Chồng tôi cũng thấy lạ lắm, nhưng cũng giữ phép lịch sự, rót chén nước chè mời lão. Lão Hạc đưa hai bàn tay run run đỡ lấy chén trà chồng tôi đưa, đưa lên môi nhấp nhẹ rồi lại đặt xuống. Đến giờ lão vẫn chưa mở lời. Rồi cái vẻ yên lặng ấy cứ diễn ra một lúc, chồng tôi nhìn lão một cách kì lạ, không hiểu chuyện gì đang xảy ra. Cuối cùng thì, có lẽ là lão đã sẵn sàng để nói chuyện- lão ngẩng khuôn mặt lão lên, khuôn mặt nhăn nheo, rám nắng, dưới khóe mắt vẫn thâm quầng- và mở chuyện:

- Cậu Vàng đi đời rồi ông giáo ạ!

- Cụ bán nó rồi?- chồng tôi đáp một cách ngạc nhiên

- Bán rồi! Họ vừa bắt nó xong.

Lão kể với giọng khàn khàn, khiến tôi nghe chữ được chữ không. Lão mỉm cười. Nhưng lão cười lạ lắm, miệng lão cười nhưng mà môi cứ giật giật, cả người lão run lên. Lão cười mà như mếu vậy. Có lẽ tâm trạng lão không vui như lão cố tỏ ra cho chồng tôi thấy- và chồng tôi cũng nhận ra điều đó. Ông hỏi:

- Thế nó cho bắt à!

Vẻ mặt lão thoáng thay đổi, mắt lão nhắm nghiền lại, khuôn miệng cười lúc nãy đã biến mất. Rồi từ hai khóe mắt chảy ra giọt nước mắt, nó chảy dài trên khuôn mặt xương xương của lão. Những nếp nhăn trên khuôn mặt lão co lại, lão khóc mỗi lúc một nhiều, hàng nước mắt cứ tuôn mãi. Tôi ngạc nhiên, từ xưa đến nay lão có bao giờ thế đâu. Mà lão Hạc đã già, có lẽ lên chức ông chức cụ rồi, vậy mà lão lại hu hu khóc chẳng khác gì một đứa con nít. Mặt ông nhà tôi cũng biến dạng theo.

Lão Hạc kể lại chuyện bán chó mà tiếng khóc cứ ngân dài theo từng lời nói, trông đến là tội nghiệp.

- Khốn nạn… Ông giáo ơi! – Lão òa lên- Nó có biết gì đâu! Nó thấy tôi gọi thì chạy ngay về, vẫy đuôi mừng. Tôi cho nó ăn cơm, nó ăn ngon lành, bởi vì tôi cho nó toàn món ngon, bữa cuối cùng của nó mà. Thế rồi, lúc nó đang hoan hỉ, thì bỗng thằng Mục với thằng Xiên nấp ngay sau nó nhảy ra, tóm gọn nó. Cu cậu trông béo tốt thế mà lại nhát, thế nên chẳng bao lâu nó đã bị trói gọn cả bốn cẳng lại rồi. Bấy giờ cu cậu mới biết cu cậu chết. Mà cái giống nó khôn lắm! Nó nhìn tôi in như nó trách tôi. Nhìn ánh mắt nó, chắc nó đang thầm bảo rằng: “ A! Lão già tệ lắm! Tôi ăn ở với lão thế mà lão lại đối xử với tôi như thế à? Tôi già từng này tuổi đầu rồi mà lại phải lừa một con chó ông giáo ạ.

Nói đến đây, lão Hạc tự đấm thùm thụp vào ngực mình, bởi vì có lẽ lão sẽ không bao giờ có thể tự tha thứ cho mình được. Lão cứ rên rỉ, trách móc mình mãi, kèm theo là những cái cào xé, lão đang dằn vặt nỗi lòng của mình, đến nỗi mà chồng tôi phải ngăn lão lại thì lão mới dừng. Ông an ủi lão Hạc

- Thôi cụ ạ! Nó không hiểu gì đâu! Mà chó nào nuôi mà chẳng để giết thịt! Ta bán nó đi chính là hóa kiếp cho nó đấy.

Nghe xong câu này của chồng tôi, lão Hạc ngẩng mặt lên trời, lão vẫn khóc, nhưng lão vừa khóc vừa cười, giọng cười chua chát và cay đắng. Lão nhắm nghiền mắt lại cố ngăn cho dòng nước mắt không tuôn nữa, rồi bảo rằng lão mong là con chó sẽ thành kiếp người, như lão chẳng hạn. Tôi để ý thấy chồng tôi cũng đau buồn theo lão, nước mắt đã rơi, nhưng ông không muốn lão Hạc càng thêm buồn nên cố nén lại, và nghiến răng để không òa khóc theo lão. Ông nắm lấy đôi vai gầy gộc của lão Hạc an ủi lão. Cái cảnh tượng thật não nề.