Ước chung và ước chung lớn nhất SVIP

1. ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

Ước chung của hai hay nhiều số là ước của tất cả các số đó.

Ước chung lớn nhất của hai hay nhiều số là số lớn nhất trong tập hợp các ước chung của các số đó.

Ta kí hiệu: $\text{ƯC}(a,\,b)$ là tập hợp các ước chung của $a$ và $b$;

                  $\text{ƯCLN}(a,\,b)$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

Chú ý: Ta chỉ xét ước chung của các số khác $0$.

Ví dụ 1:

Ta có $Ư(12)=\{1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,12\}$

$Ư(18)=\{1;\,2;\,3;\,6;\,9;\,18\}$

Các số $1;\, 2;\,3;\,6$ đều là ước của hai số $12$ và $18$ nên $\text{ƯC}(12,\,18)=\{1;\,2;\,3;\,6\}$.

Vì $6$ là số lớn nhất trong các ước chung nên $\text{ƯCLN}(12,\,18)=6$.

Nhận xét:

⚡ Trong các số đã cho, nếu số nhỏ nhất là ước của các số còn lại thì ƯCLN của các số đã cho chính là số nhỏ nhất ấy.

Nếu $a\,\vdots\,b$ thì $\text{ƯCLN}(a,\,b)=b$.

⚡ Số $1$ chỉ có một ước là $1$. Do đó với mọi số tự nhiên $a$ và $b$, ta có

$\text{ƯCLN}(a,\,1)=1;\, \text{ƯCLN}(a,\,b,\,1)=1$.

2. CÁCH TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn $1$:

1. 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;
2. 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung;
3. 3. Lập tích các thừa số đã chọn, mỗi thừa số lấy với số mũ nhỏ nhất. Tích đó là ƯCLN phải tìm.

Ví dụ 2: Tìm $\text{ƯCLN}(56,\,140,\,168)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.

Giải

Phân tích các số $56,\,140$ và $168$ ra thừa số nguyên tố ta được:

$56=2^3.7$; $140=2^2.5.7$; $168=2^3.3.7$.

Ta thấy $2$ và $7$ là các thừa số nguyên tố chung của $56$, $140$ và $168$. Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $2$ và số mũ nhỏ nhất của $7$ là $1$ nên

$\text{ƯCLN}(56,\,140,\,168)=2^2.7=28$.

 Nhận xét:

Để tìm ước chung của các số, ta có thể làm như sau:

1. 1. Tìm ƯCLN của các số đó;
2. 2. Tìm các ước của ƯCLN đó.

Ví dụ 3: Tìm $\text{ƯC}(75,\,105)$

Giải

Phân tích các số $75$ và $105$ ra thừa số nguyên tố: $75=2.5^2$; $105=3.5.7$.

Ta chọn ra các thừa số nguyên tố chung là $3$ và $5$.

Số mũ nhỏ nhất của $3$ là $1$, số mũ nhỏ nhất của $5$ là $1$.

Khi đó $\text{ƯCLN}(75,\,105)=3.5=15$. Các ước của $15$ là $1;\, 3;\, 5;\,15$.

Vậy $\text{ƯC}(75,\,105)=\{1;\,3;\,5;\,15\}$.

 3. PHÂN SỐ TỐI GIẢN

Rút gọn về phân số tối giản

⚡ Ta rút gọn phân số bằng cách chia cả tử và mẫu của phân số đó cho một ước chung khác $1$ (nếu có).

⚡ $\dfrac{a}{b}$ được gọi là phân số tối giản nếu $a$ và $b$ không có ước chung nào khác $1$. Nghĩa là $\text{ƯCLN}(a,\,b)=1$. 

⚡ Để đưa một phân số chưa tối giản $\dfrac{a}{b}$ về phân số tối giản, ta chia cả tử và mẫu cho $\text{ƯCLN}(a,\,b)$.

Chú ý: Nếu $\text{ƯCLN}(a,\,b)=1$ thì $a$ và $b$ được gọi là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 4: Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

a) $\dfrac{7}{9}$;          b) $\dfrac{36}{54}$.

Giải

a) Ta có $\text{ƯCLN}(7,\,9)=1$, nên $\dfrac{7}{9}$ là phân số tối giản.

b) $\text{ƯCLN}(36,\,54)=18$, nên $\dfrac{36}{54}$ không là phân số tối giản.

Ta có $\dfrac{36}{54}=\dfrac{36:18}{54:18}=\dfrac{2}{3}$. Ta được $\dfrac{2}{3}$ là phân số tối giản.