Phần tự luận (8 điểm) SVIP

Hướng dẫn giải:

1) $ \left( 3\sqrt{3}+2\sqrt{5} \right)\sqrt{3}-\sqrt{60}=3.3+2\sqrt{15}-2\sqrt{15}$ $ =9$.

2) Hàm số $ y=(2-\sqrt{3})x+2$ có hệ số $ a=2-\sqrt{3}>0$ (vì $ 2=\sqrt{4}>\sqrt{3}$)

Vậy hàm số $ y=(2-\sqrt{3})x+2$ đồng biến trên $\mathbb{R}$.

3) Với $x>0, \, x\ne 1$, ta có $A=\left( \dfrac{1}{x-\sqrt{x}}+\dfrac{1}{\sqrt{x}-1} \right).\dfrac{5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

$=\left( \dfrac{1}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}+\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}\left( \sqrt{x}-1 \right)} \right).\dfrac{5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

$=\dfrac{1+\sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)}.\dfrac{5\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}$

$=\dfrac{5}{\sqrt{x}-1}$.

Hướng dẫn giải:

1) Vì đường thẳng $(d) $ đi qua điểm $ A\left( 1;-1 \right)$ nên với $ x=1; \, y=-1$ ta có:

$ -1=\left( m-2 \right).1+m+1 \Leftrightarrow 2m=0\Leftrightarrow m=0$

Vậy $ m=0$ là giá trị cần tìm.

2) Với $ m=0$ ta có hàm số $ y=-2x+1$

Xác định được hai điểm thuộc đồ thị hàm số $ A\left( 1;-1 \right); \, B\left( 0;1 \right)$.

Vẽ đúng đồ thị

3) Ta có: $ \left( d \right)$ // $\left( {{d}'} \right)\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m-2=-3 \\ & m+1\ne 1 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & m=-1 \\ & m\ne 0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow m=-1$ (tmđk)

Vậy $ m=-1$.

Hướng dẫn giải:

1a) 

Vì $PA$ và $PB$ là 2 tiếp tuyến của $(O)$ tại $A$ và $B \Rightarrow PA=PB$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

$\Rightarrow P$ thuộc đường trung trực của $AB$ (1)

Mặt khác ta có $OA = OB = R \Rightarrow O$ thuộc đường trung trực của $AB$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow  OP$ là đường trung trực của $AB\Rightarrow  PO\bot AB$ tại $H$.

1b) Ta có $ \Delta AED$ nội tiếp đường tròn $(O)$ đường kính $AD  \Rightarrow \Delta AED$ vuông tại $E  \Rightarrow AE\bot PD$ tại $E$.

Vì $AB$ là tiếp tuyến của $(O)$ nên $AB \perp OB$ suy ra $\Delta ABO$ vuông tại $B$.

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông $PAO$ có: $ PH.PO=P{{A}^{2}}$ (1)

Áp dụng hệ thức lượng cho tam giác vuông $ABD$ có: $ PD.PE=P{{A}^{2}}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow PH.PO=PD.PE$

2)

Xét $\Delta MBK$ vuông tại $B$ có $\tan \widehat{KMB}=\dfrac{KB}{MB}=\dfrac{35,82}{35}\Rightarrow \widehat{KMB}\approx {{46}^{\circ}}$

Xét $\Delta MBT$ vuông tại $B$ có $\tan \widehat{TMB}=\dfrac{TB}{MB}=\dfrac{28,5}{35}\Rightarrow \widehat{TMB}\approx {{39}^{\circ}}$.

Tính được góc sút $\alpha =\widehat{KMT}\approx {{7}^{\circ}}$.

Hướng dẫn giải:

$(x+5)\sqrt{2x+3}=-4{{x}^{2}}+2x+54$ (1)

ĐK: $x\ge -\dfrac{3}{2}$

(1) $\Leftrightarrow (x+5)\sqrt{2x+3}-3(x+5)=-4{{x}^{2}}-x+39 $

$\Leftrightarrow (x+5)(\sqrt{2x+3}-3)=-4{{x}^{2}}-x+39$

$ \Leftrightarrow \dfrac{2(x+5)(x-3)}{\sqrt{2x+3}+3}+(x-3)(4x+13)=0$ 

$\Leftrightarrow (x-3)\left( \dfrac{2x+10}{\sqrt{2x+3}+3}+4x+13 \right)=0$

$\Leftrightarrow x-3=0$ (vì $\dfrac{2x+10}{\sqrt{2x+3}+3}+4x+13>0, \, \forall x\ge -\dfrac{3}{2}$)

$\Leftrightarrow x=3$ (Thoả mãn).

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất $x=3$.