🔺Đề kiểm tra cuối năm số 3 - bộ Chân trời sáng tạo (phần tự luận) SVIP

Hướng dẫn giải:

Ta có: $\sqrt{2{{x}^{2}}-2x-m+12}=x-3 \,\,\, \left( 1 \right)$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x-3\ge 0 \\ & 2x^2-2x-m+12=\left( x-3 \right)^2\\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\ge 3 \\ & 2x^2-2x-m+12=x^2-6x+9 \\ \end{aligned} \right.$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x\ge 3 \\ & x^2+4x+3=m \,\,\, \left( 2 \right) \\ \end{aligned} \right.$

Để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm thì phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm trên $\left[ 3;+\infty \right)$.

Xét hàm số $y={{x}^{2}}+4x+3$ có bảng biến thiên

Dựa vào BBT phương trình $\left( 2 \right)$ có nghiệm trên $\left[ 3;+\infty \right)$ khi $m\ge 24$.

Để phương trình $\left( 1 \right)$ có nghiệm khi $m\ge 24$.

Hướng dẫn giải:

a) Gọi $\Delta $ là đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $d$.

Khi đó $\Delta$ đi qua $A\left( 2;\,1 \right)$ và $\overrightarrow{n_{\Delta}}=\overrightarrow{u_d}=\left( 1;1 \right)$ là VTPT nên phương trình đường thẳng $\Delta $ là: $1\left( x-2 \right)+1\left( y-1 \right)=0\Leftrightarrow x+y-3=0$.

Gọi $H$ là giao điểm của $d$ và $\Delta $.

Tọa độ của $H$ là nghiệm của hệ phương trình $\left\{ \begin{aligned} & x-y+1=0 \\ & x+y-3=0 \\ \end{aligned} \right.\Leftrightarrow \left\{ \begin{aligned} & x=1 \\ & y=2 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow I\left( 1;2 \right)$.

Do $H$ là trung điểm của $A{{A}_{1}}$ nên ta có $\left\{ \begin{aligned} & {{x}_{{{A}_{1}}}}=2{{x}_{I}}-{{x}_{A}}=2.1-2=0 \\ & {{y}_{{{A}_{1}}}}=2{{y}_{I}}-{{y}_{A}}=2.2-1=3 \\ \end{aligned} \right.\Rightarrow {{A}_{1}}\left( 0;3 \right)$.

b) Gọi $I$ là tâm đường tròn cần viết.

Do $I\in Ox\Rightarrow I\left( a;\,0 \right)$.

Do đường tròn đi qua điểm $A$ và tiếp xúc với $d$ nên $d\left( I;d \right)=IA\Leftrightarrow \dfrac{\left| a+1 \right|}{\sqrt{2}}=\sqrt{{{\left( 2-a \right)}^{2}}+1}\Leftrightarrow {{\left( a+1 \right)}^{2}}=2\left[ {{\left( 2-a \right)}^{2}}+1 \right]\Leftrightarrow {{a}^{2}}-10a+9=0\Leftrightarrow \left[ \begin{aligned} & a=1 \\ & a=9 \\ \end{aligned} \right.$.

Với $a=1\Rightarrow I\left( 1;\,0 \right), \, R=IA=\sqrt{2}$.

Phương trình đường tròn là: ${{\left( x-1 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=2$.

Với $a=9\Rightarrow I\left( 9;\,0 \right), \, R=IA=5\sqrt{2}$.

Phương trình đường tròn là: ${{\left( x-9 \right)}^{2}}+{{y}^{2}}=50$. 

Hướng dẫn giải:

+) Trường hợp 1: Lấy được $3$ quả cầu màu xanh.

Số cách lấy từ mỗi hộp $1$ quả cầu màu xanh là: $3.4.5=60$ (cách).

+) Trường hợp 2: Lấy được $3$ quả cầu màu đỏ.

Số cách lấy từ mỗi hộp $1$ quả cầu màu đỏ là: $4.3.5=60$ (cách).

+) Trường hợp 3: Lấy được $3$ quả cầu màu trắng.

Số cách lấy từ mỗi hộp $1$ quả cầu màu xanh là: $5.6.2=60$ (cách).

Do đó số cách lấy được $3$ quả cầu có màu giống nhau là: $60+60+60=180$(cách).

Hướng dẫn giải:

$9$ viên bi chia thành ba phần $\Rightarrow n\left( \Omega \right)=\dfrac{C_{9}^{3}.C_{6}^{3}.1}{3!}=280$.

Chia $4$ viên bi đỏ và $5$ viên bi xanh có cùng kích thước thành ba phần mà không có phần nào gồm $3$ viên bi cùng màu sẽ chia các phần như sau:

          ($2$ đỏ, $1$ xanh) + ($1$ đỏ, 2 xanh) + (1 đỏ, 2 xanh)

Ta có:

+ Chia $4$ viên bi đỏ : có có $C_{4}^{2}.1$ (cách) (hai viên còn lại tự tách đôi)

+ Chọn $1$ xanh vào $2$ đỏ : có $C_{5}^{1}$ (cách)

+ Chọn $2$ xanh vào $1$ đỏ thứ nhất có $C_{4}^{2}$ (cách).

+ $2$ xanh còn lại vào đỏ còn lại có 1 cách.

$\Rightarrow n(A)=C_{4}^{2}.C_{5}^{1}.C_{4}^{2}=180$

$\Rightarrow $ $P(A)=\dfrac{9}{14}$.

Hướng dẫn giải:

Gọi vectơ $\overrightarrow{u}=\left( a;b \right)$ là VTPT của đường thẳng cần tìm (Điều kiện $a^2+b^{2}\ne 0$).

Do $\left( d \right)$ đi qua $A\left( 0;1 \right)$ nên $\left( d \right): \, ax+by-b=0$.

Đường thẳng $x+2y+3=0$ có VTPT là $\overrightarrow{v}=\left( 1;2 \right)$.

Góc của 2 đường thẳng $\left( d \right)$ và $\left( {{d}'} \right)$ : $\cos\left( d,{d}' \right)=\left| \cos\left( \overrightarrow{u},\overrightarrow{v} \right) \right|=\cos 45^{\circ}$

$\Leftrightarrow \dfrac{\left| a+2b \right|}{\sqrt{\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right).5}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}$

$\Leftrightarrow {{\left( a+2b \right)}^{2}}=\dfrac{5}{2}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)\Leftrightarrow 3{{a}^{2}}-8ab+{{b}^{2}}=0\,\,\left( * \right)$.

TH1: $b=0$ thì từ $\left( * \right)\Rightarrow a=0$ (vô lí) do điều kiện $a, \, b$ không đồng thời bằng $0$.

TH2: $b\ne 0$ chia hai vế của $\left( * \right)$ cho ${{b}^{2}}$ ta có: $3{{\left( \dfrac{a}{b} \right)}^{2}}-8\left( \dfrac{a}{b} \right)-3=0$

$\Leftrightarrow \dfrac{a}{b}=3$ hoặc $\dfrac{a}{b}=\dfrac{-1}{3}$

Với $\dfrac{a}{b}=3$; chọn $[a=3, \, b=1$ ta được $\left( d \right): \, 3x+y-1=0$

Với $\dfrac{a}{b}=\dfrac{-1}{3}$; chọn $a=1, \, b=-3$ ta được $\left( d \right): \, x-3y+3=0$.

Vậy có hai đường thẳng thỏa mãn là $\left( {{d}_{1}} \right): \, 3x+y-1=0$ và $\left( {{d}_{2}} \right): \, x-3y+3=0$.