Bài toán ứng dụng thực tiễn của giới hạn dãy số SVIP

Cho hình vuông $ABCD$ có cạnh bằng $a_1$ và có diện tích $S_1$. Nối $4$ trung điểm $A_1$, $B_1$, $C_1$, $D_1$ theo thứ tự của $4$ cạnh $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ ta được hình vuông thứ hai có diện tích $S_2$. Tiếp tục làm như thế, ta được hình vuông thứ ba là $A_2$, $B_2$, $C_2$, $D_2$ có diện tích $S_3$, …và cứ tiếp tục làm như thế.

Giả sử quá trình trên kéo dài vô hạn. Tính tổng diện tích (đơn vị cm^{$^2$}) các hình vuông được tạo thành biết $a_1=4$ cm.

Trả lời:

Cho tam giác $OMN$ vuông cân tại $O$, $OM=ON=5$. Trong tam giác $OMN$, vẽ hình vuông $OA_1B_1C_1$ sao cho các đỉnh $A_1; \, B_1; \, C_1$ lần lượt nằm trên các cạnh $OM;\,MN;\,ON$. Trong tam giác $A_1MB_1$, vẽ hình vuông $A_1A_2B_2C_2$ sao cho các đỉnh $A_1; \, B_2; \, C_2$ lần lượt nằm trên các cạnh $A_1M; \, MB_1; \, A_1B_1$.

Tiếp tục quá trình đó mãi mãi, ta được một dãy các hình vuông (tham khảo hình vẽ). Tính tổng diện tích các hình vuông này. (Làm tròn kết quả đến chữ số hàng phần mười)

Trả lời:

Trong một nhà máy, người ta đo được rằng $90\%$ lượng nước sau khi sử dụng được xử lí và tái sử dụng. Khi quá trình xử lí và tái sử dụng lặp lại mãi mãi, để nhà máy sử dụng được tổng lượng nước là $1$ $000$ (m$^3$) thì cần có bao nhiêu mét khối nước ban đầu được sử dụng?

Trả lời:

Từ độ cao $63$ m của một ngọn tháp, người ta thả một quả bóng cao su xuống đất. Giả sử mỗi lần chạm đất quả bóng lại nảy lên độ cao bằng $\dfrac1{10}$ độ cao mà quả bóng đạt được ngay trước đó. Độ dài hành trình của quả bóng từ thời điểm ban đầu cho đến khi nó nằm yên trên mặt đất (khi khoảng cách từ quả bóng đến mặt đất không đáng kể) là bao nhiêu mét?

Trả lời:

Từ tờ giấy, cắt một hình tròn bán kính $R=2$ (cm) như hình vẽ. Tiếp theo, cắt hai hình tròn bán kính $\dfrac{R}{2}$ chồng lên hình tròn đầu tiên.

Tiếp theo, cắt bốn hình tròn bán kính $\dfrac{R}{4}$ rồi chồng lên các hình trước. Cứ thế tiếp tục mãi. Tính tổng diện tích của các hình tròn. (làm tròn kết quả đến hàng phần mười)

Trả lời:

Ông Đô dự định dùng xen kẽ hai màu vàng, xanh để sơn trang trí một bức tường hình chữ nhật theo cách như sau: Đầu tiên dùng màu vàng sơn bức tường theo tấm bìa hình chữ nhật $H_1$ có chiều dài, chiều rộng tính theo đơn vị m lần lượt là $\sqrt{5}+1$ và $2$, sau đó cắt hình $H_1$ thành một hình vuông có cạnh bằng chiều rông của $H_1$ và hình chữ nhật $H_2$, rồi dùng màu xanh sơn tường theo hình $H_2$, …cứ tiếp tục quá trình như vậy cho đến khi hình chữ nhật tạo ra có diện tích không đáng kể.

Biết rằng tiền công để sơn mỗi mét vuông tường như vậy là $21$ nghìn đồng. Ông Đô cần chuẩn bị tối đa bao nhiêu tiền công cho thợ sơn? (kết quả tính theo đơn vị nghìn đồng và làm tròn đến hàng nghìn).

Trả lời:

Cho hình vuông $C_1$ có cạnh bằng $a$. Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông $C_2$ (hình vẽ).

Từ hình vuông $C_2$ lại tiếp tục làm như trên ta nhận được dãy các hình vuông $C_1, \, C_2, \, C_3,...,\, C_n.$ Gọi $S_i$ là diện tích của hình vuông $C_i$, ($i \in \{ 1;2;3;...;n \}).$ Khi đó $\lim \dfrac{2 \, 025}{a^2}(S_1+S_2+...+S_n)$ bằng bao nhiêu?

Trả lời:

Một mô hình gồm các khối cầu xếp chồng lên nhau tạo thành một cột thẳng đứng. Biết rằng mỗi khối cầu có bán kính gấp đôi khối cầu nằm ngay trên nó và bán kính khối cầu dưới cùng là $50$ cm. Chiều cao mô hình dưới $x$ mét, $x$ là số tự nhiên, đơn vị cm. Tìm $x$.

Trả lời:

Trong một lần Đoàn trường THPT Giao Thủy C tổ chức chơi bóng chuyền hơi, bạn Nam thả một quả bóng chuyền hơi từ tầng ba, độ cao $8$ m so với mặt đất và thấy rằng mỗi lần chạm đất thì quả bóng lại nảy lên một độ cao bằng ba phần tư độ cao lần rơi trước. Biết quả bóng chuyển động vuông góc với mặt đất. Khi đó tổng quãng đường (đơn vị mét) quả bóng đã bay từ lúc thả bóng đến khi quả bóng không máy nữa gần bằng số tự nhiên nào?

Trả lời: