Quy tắc cộng và quy tắc nhân SVIP

1. QUY TẮC CỘNG

Một công việc được thực hiện theo phương án \(A\) hoặc \(B\). Phương án \(A\) có \(m\) cách thực hiện, phương án \(B\) có \(n\) cách thực hiện không trùng với bất kì cách nào của phương án \(A\). Khi đó công việc có thể thực hiện theo \(m+n\) cách.

Ví dụ 1. Lớp \(10\)A có \(40\) học sinh, lớp \(10\)B có \(38\) học sinh. Có bao nhiêu cách cử một học sinh của lớp \(10\)A hoặc của lớp \(10\)B tham gia buổi giao lưu các học sinh trong các trường trung học phổ thông trong tỉnh sắp diễn ra?

Giải

Công việc cử một học sinh có hai phương án lựa chọn:

Phương án một: cử một học sinh của lớp \(10\)A có \(40\) cách thực hiện.

Phương án hai: cử một học sinh của lớp \(10\)B có \(38\) cách thực hiện.

Theo quy tắc cộng có \(40+38=78\) cách chọn một học sinh tham gia buổi giao lưu các học sinh trong các trường trung học phổ thông trong tỉnh.

2. QUY TẮC NHÂN

Giả sử một công việc được chia thành hai công đoạn. Công đoạn thứ nhất có \(m\) cách thực hiện và ứng với mỗi cách đó có \(n\) cách thực hiện công đoạn thứ hai thì công việc đó. Khi đó, công việc có thể thực hiện theo \(m.n\) cách.

Ví dụ 2. Lan có \(5\) chiếc áo và \(3\) chiếc quần. Lan có bao nhiêu cách lựa chọn một bộ quần áo để mặc đi chơi.

Giải

Việc chọn một bộ quần áo của Lan có thể coi như là hai công đoạn:

Công đoạn \(1\): chọn một chiếc áo từ \(5\) chiếc áo, có \(5\) cách thực hiện công đoạn này.

Công đoạn \(2\): chọn một chiếc quần từ \(3\) chiếc quần, có \(3\) cách thực hiện công đoạn này.

Áp dụng quy tắc nhân, có \(5.3=15\) cách lựa chọn một bộ quần áo để mặc đi chơi.

Ví dụ 3. Từ các số \(0,1,2,3,4\) có thể lập được bao nhiêu:

a) số tự nhiên có \(4\) chữ số khác nhau?

b) số tự nhiên chẵn có \(4\) chữ số khác nhau?

Giải

Gọi số cần lập là \(\overline{abcd}\) với \(a,b,c,d\) là bốn chữ số khác nhau từ các chữ số đã cho.

a) Có \(4\) cách chọn chữ số \(a\) từ \(4\) chữ số khác \(0\) đã cho.

Với mỗi cách chọn \(a\), có \(4\) cách chọn chữ số \(b\) từ \(4\) chữ số còn lại.

Ứng với mỗi cách chọn \(b\) đó, có \(3\) cách chọn chữ số \(c\) từ \(3\) chữ số còn lại.

Ứng với mỗi cách chọn \(c\) đó, có \(2\) cách chọn chữ số \(d\) từ \(2\) chữ số còn lại.

Áp dụng quy tắc nhân có: \(4.4.3.2=96\) số tự nhiên có \(4\) chữ số khác nhau được lập từ các số đã cho.

b) Để \(\overline{abcd}\) là số chẵn, chữ số \(d\) phải là chữ số chẵn. Vậy có hai trường hợp:

Trường hợp \(1:\)\(d=0\) khi đó có \(4\) cách chọn chữ số \(a\) từ \(4\) chữ số còn lại, ứng với mỗi cách chọn \(a\) đó có \(3\) cách chọn chữ số \(b\) từ \(3\) chữ số còn lại. Với mỗi cách chọn \(b\), có \(2\) cách chọn chữ số \(c\) từ \(2\) chữ số còn lại.

Áp dụng quy tắc nhân có: \(4.3.2=24\) số thỏa mãn.

Trường hợp \(2:\)\(d=2\) hoặc \(d=4\).

Khi đó có \(2\) cách chọn chữ số \(d\) từ \(2\) chữ số \(2\) hoặc \(4\). Với mỗi cách chọn đó có \(3\) cách chọn chữ số \(a\) từ \(3\) chữ số khác \(0\) còn lại. Với mỗi cách chọn \(a\), có \(3\) cách chọn chữ số \(b\) từ \(3\) chữ số còn lại, Với mỗi cách chọn \(b\), có \(2\) cách chọn chữ số \(c\) từ \(2\) chữ số còn lại.

Áp dụng quy tắc nhân có: \(2.3.3.2=36\) số thỏa mãn.

Theo quy tắc cộng có: \(24+36=60\) số chẵn có \(4\) chữ số khác nhau thỏa mãn.​