Thể tích nước trong thùng ban đầu là:

\(V_1=x\cdot a\cdot b\left(dm^3\right)\)

Diện tích đáy trong thùng sau khi nghiêng là:

\(S_{đáy}=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{3}{4}a\cdot8=3a\left(dm^2\right)\)

Thể tích nước sau khi nghiêng thùng là: \(V_2=3a\cdot b\left(dm^3\right)\)

Vì thể tích nước trước và sau khi nghiêng thùng đều không thay đổi nên \(x\cdot a\cdot b=3\cdot a\cdot b\)

=>x=3

a: Thay m=3 vào hệ, ta được:

\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=1\\3x+\left(3+1\right)y=-1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3x+2y=1\\3x+4y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3x+4y-3x-2y=-1-1\\3x+2y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}2y=-2\\3x=1-2y=1-\left(-2\right)=3\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=-1\\x=1\end{matrix}\right.\)

b:

để hệ có vô số nghiệm thì \(\dfrac{m}{3}=\dfrac{2}{m+1}=\dfrac{1}{-1}\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+m=6\\m+1=-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+3\right)\left(m-2\right)=0\\m=-3\end{matrix}\right.\)

=>m=-3

Để hệ vô nghiệm thì \(\dfrac{m}{3}=\dfrac{2}{m+1}\ne\dfrac{1}{-1}=-1\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+m=6\\m+1\ne-2\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left(m+3\right)\left(m-2\right)=0\\m\ne-3\end{matrix}\right.\)

=>m=2

Để hệ có nghiệm duy nhất thì \(\dfrac{m}{3}\ne\dfrac{2}{m+1}\)

=>\(m^2+m\ne6\)

=>\(m^2+m-6\ne0\)

=>(m+3)(m-2)<>0

=>\(m\notin\left\{-3;2\right\}\)

\(\left\{{}\begin{matrix}mx+2y=1\\3x+\left(m+1\right)y=-1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}3mx+6y=3\\3mx+\left(m^2+m\right)y=-m\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}3mx+\left(m^2+m\right)y-3mx-6y=-m-3\\mx+2y=1\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y\left(m+3\right)\left(m-2\right)=-\left(m+3\right)\\mx+2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=\dfrac{-1}{m-2}\\mx=1-2y=1+\dfrac{2}{m-2}=\dfrac{m-2+2}{m-2}=\dfrac{m}{m-2}\end{matrix}\right.\)

=>\(\left\{{}\begin{matrix}y=-\dfrac{1}{m-2}\\x=\dfrac{1}{m-2}\end{matrix}\right.\)

c: Để hệ có nghiệm duy nhất là số nguyên thì \(\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{-3;2\right\}\\m-2\inƯC\left(1;-1\right)\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m\in\left\{-3;2\right\}\\m-2\in\left\{1;-1\right\}\end{matrix}\right.\)

=>\(m\in\left\{3;1\right\}\)

Bài 3:

1: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(AB=\sqrt{12^2-5^2}=\sqrt{144-25}=\sqrt{119}\simeq10,9\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(sinB=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{5}{12}\)

nên \(\widehat{B}\simeq24^037'\)

=>\(\widehat{C}=90^0-\widehat{B}\simeq65^023'\)

2: ΔABC vuông tại A 

=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>\(\widehat{B}=90^0-47^0=43^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(tanC=\dfrac{AB}{AC}\)

=>\(AB=AC\cdot tanC=5\cdot tan47\simeq5,4\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC\simeq\sqrt{5,4^2+5^2}\simeq7,4\)

3: ΔABC vuông tại A

=>\(\widehat{B}+\widehat{C}=90^0\)

=>\(\widehat{C}=90^0-74^0=16^0\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(tanB=\dfrac{AC}{AB}\)

=>\(AC=7\cdot tan74\simeq24,4\)

ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC\simeq\sqrt{24,4^2+7^2}\simeq25,4\)

4: ΔABC vuông tại A

=>\(AB^2+AC^2=BC^2\)

=>\(BC=\sqrt{12^2+13^2}=\sqrt{313}\simeq17,7\)

Xét ΔABC vuông tại A có \(tanC=\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{13}{12}\)

nên \(\widehat{C}\simeq47^017'\)

=>\(\widehat{B}=90^0-\widehat{C}\simeq42^043'\)

Số học sinh khối 4 sau khi chuyển 50 bạn sang khối 5 là:

\(\left(674-10\right):2=332\) (học sinh)

Số học sinh khối 4 là:

\(332+50=382\) (học sinh)

Số học sinh khối 5 là:

\(674-382=292\) (học sinh)

Số HS khối 4 là.               (654:2)+10.                                Số HS khối 5 là.                               654-khối 4

Ta có; ΔABC=ΔDEF

=>AB=DE; BC=EF; AC=DF; \(\widehat{BAC}=\widehat{EDF};\widehat{ABC}=\widehat{DEF};\widehat{ACB}=\widehat{DFE}\)

Xét ΔBAM và ΔEDN có

AB=DE

\(\widehat{ABM}=\widehat{DEN}\)

BM=EN

Do đó: ΔBAM=ΔEDN

=>AM=DN và \(\widehat{BAM}=\widehat{EDN}\)

số vịt trên bờ bằng 20% số vịt dưới ao tức là số vịt trên bờ bằng 1/5 số vịt dưới ao => số vịt trên bờ bằng 1/6 tổng đàn vịt

số vịt trên bờ bằng 12,5% số vịt dưới ao tức là số vịt trên bờ bằng 1/8 số vịt dưới ao => số vịt trên bờ bằng 1/9 tổng đàn vịt

Phân số chỉ 3 con vịt là

1/6-1/8=1/24 đàn vịt

Số vịt trong đàn là

3:1/24=72 con

\(\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{12}+...+\dfrac{1}{90}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{5}:\dfrac{2}{3}\)

=>\(\left(1-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{9}-\dfrac{1}{10}\right)\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{3}{5}\cdot\dfrac{3}{2}=\dfrac{9}{10}\)

=>\(\dfrac{9}{10}\left(x-\dfrac{1}{2}\right)=\dfrac{9}{10}\)

=>\(x-\dfrac{1}{2}=1\)

=>\(x=1+\dfrac{1}{2}=\dfrac{3}{2}\)

a: \(\widehat{MON}+\widehat{O_1}+45^0=180^0\)

=>\(\widehat{O_1}=180^0-90^0-45^0=45^0\)

Ta có: \(\widehat{O_1}=\widehat{MNO}\left(=45^0\right)\)

mà hai góc này là hai góc ở vị trí so le trong

nên OB//AM

b: Ta có: OB//AM

MA\(\perp\)AB

Do đó: OB\(\perp\)BA

\(A=\dfrac{1}{299}\left(1-\dfrac{1}{300}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{301}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{302}+...+\dfrac{1}{101}-\dfrac{1}{400}\right)\)

\(299A=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{101}-\left(\dfrac{1}{300}+\dfrac{1}{301}+...+\dfrac{1}{400}\right)\)

Thêm bớt \(\dfrac{1}{102}+\dfrac{1}{103}+...+\dfrac{1}{299}\) ta được:

\(299A=1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{101}+\left(\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{299}\right)-\left(\dfrac{1}{102}+...+\dfrac{1}{299}\right)-\left(\dfrac{1}{300}+...+\dfrac{1}{400}\right)\)

\(299A=\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{299}\right)-\left(\dfrac{1}{102}+\dfrac{1}{103}+...+\dfrac{1}{400}\right)\)

\(101B=1-\dfrac{1}{102}+\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{103}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{104}+....+\dfrac{1}{299}-\dfrac{1}{400}\)

\(101B=\left(1+\dfrac{1}{2}+...+\dfrac{1}{299}\right)-\left(\dfrac{1}{102}+\dfrac{1}{103}+...+\dfrac{1}{400}\right)\)

\(\Rightarrow299A=101B\)

\(\Rightarrow\dfrac{A}{B}=\dfrac{101}{299}\)