S = 1 x 2+2 x 3+3 x 4+...+25 x 26

3S = 1 x 2 x 3 +2 x 3 x (4 - 1) +3 x 4 x (5 - 2) +...+25 x 26 x (27 - 24)

3S = 1 x 2 x 3 + 2 x 3 x 4 - 1 x 2 x 3 + 3 x 4 x 5 - 2 x 3 x 4 + ... + 25 x 26 x 27 - 24 x 25 x 26

3S = 25 x 26 x 27

3S = 17550

S = 5850

1

Ta có: `997.1001 `

`= (999 - 2) . (999 + 2) `

`= 999 . 999 - 2 . 999 + 2 . 999 - 4`

`= 999 . 999 - 4 < 999 . 999`

Vậy  `997.1001  < 999 . 999`

\(999.999=\left(1000-1\right)\left(1000-1\right)=\left(1000-1\right)^2=1000^2-2.1000+1\)

\(997.1001=\left(1000-3\right)\cdot\left(1000+1\right)=1000^2-2.1000-2\)

mà \(1>-2\Rightarrow1000^2-2.1000+1>1000^2-2.1000-2\)

\(\Rightarrow999.999>997.1001\)

Ta có:

\(290=2\cdot5\cdot29\\ 895=5\cdot197\\ 578=2\cdot17^2\\ =>ƯCLN\left(290;895;578\right)=1\)

\(290=2.5.29\)

\(895=5.179\)

\(578=2.17^2\)

Nên không tồn tại \(UCLN\left(290;895;578\right)\)

Tỉ số giữa thời gian hoàn thiện một chiếc khẩu trang sau khi cải tiến và trước khi cải tiến là:

\(\dfrac{100\%}{100\%+60\%}=\dfrac{1}{1,6}=\dfrac{5}{8}\)

=>Phần trăm thời gian hoàn thiện giảm đi là:

\(1-\dfrac{5}{8}=\dfrac{3}{8}=37,5\%\)

Có \(a^4+b^4+c^4=\left(a^2\right)^2+\left(b^2\right)^2+\left(c^2\right)^2\)

\(\ge\dfrac{\left(a^2+b^2+c^2\right)^2}{3}\) 

\(\ge\dfrac{\left(\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{3}\right)^2}{3}\)  (áp dụng 2 lần BĐT \(x^2+y^2+z^2\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\))

\(=\dfrac{\left(\dfrac{4^2}{3}\right)^2}{3}=\dfrac{256}{27}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\dfrac{4}{3}\)

Vậy \(minP=\dfrac{256}{27}\) khi \(a=b=c=\dfrac{4}{3}\)

Min P dễ em có thể tự tìm đơn giản bằng AM-GM

\(P=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)^2+4abc\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a^2+b^2+c^2\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)^2+16abc\)

Do \(0\le a;b;c\le3\Rightarrow\left(3-a\right)\left(3-b\right)\left(3-c\right)\ge0\)

\(\Rightarrow3\left(ab+bc+ca\right)-9\left(a+b+c\right)+27-abc\ge0\)

\(\Rightarrow ab+bc+ca\ge\dfrac{abc+9}{3}\)

\(a^2+b^2+c^2=\left(a+b+c\right)^2-2\left(ab+bc+ca\right)=16-2\left(ab+bc+ca\right)\)

\(\le16-\dfrac{2}{3}\left(abc+9\right)\)

Do đó:

\(P\le\left[16-\dfrac{2}{3}\left(abc+9\right)\right]^2-2\left(\dfrac{abc+9}{3}\right)^2+16abc\)

Đặt \(abc=x\Rightarrow0\le x\le\dfrac{64}{27}\)

\(P\le\left[16-\dfrac{2}{3}\left(x+9\right)\right]^2-2\left(\dfrac{x+9}{3}\right)^2+16x\)

\(P\le\dfrac{2}{9}\left(x^2-6x+369\right)\)

\(P\le\dfrac{2}{9}x\left(x-6\right)+82\)

Do \(0\le x\le\dfrac{64}{27}\Rightarrow x-6< 0\Rightarrow\dfrac{2}{9}x\left(x-6\right)\le0\)

\(\Rightarrow P\le82\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=0\) hay \(\left(a;b;c\right)=\left(0;1;3\right)\) và các hoán vị

a: \(AD=\dfrac{3}{4}AB\)

=>\(BD=\dfrac{1}{4}AB\)

Xét ΔABC có DE//AC

nên \(\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{BD}{BA}=\dfrac{BE}{BC}\)

=>\(\dfrac{BE}{BC}=\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{4}\)

Vì BE/BC=1/4

nên \(\dfrac{CE}{CB}=\dfrac{3}{4}\)

=>\(S_{CAE}=\dfrac{3}{4}\times S_{CAB}\)

=>\(S_{CAB}=72:\dfrac{3}{4}=96\left(cm^2\right)\)

=>\(\dfrac{1}{2}\times AB\times AC=96\)

=>6AC=96

=>AC=16(cm)

b: Vì \(\dfrac{DE}{AC}=\dfrac{1}{4}\)

nên \(DE=16\times\dfrac{1}{4}=4\left(cm\right)\)

Do số dầu ở thùng 3 = \(\dfrac{3}{4}\) số dầu ở thừng 1 và 2 nên ta có tổng số phần bằng nhau là: 3 + 4 = 7 (phần)

Số dầu ở thùng 3 là: 84 : 7 x 3 = 36 (l)

Tổng số dầu ở thùng 1 và 2 là: 84 - 36 = 48 (l)

Số dầu thùng 1 là: 48 : (3 + 5) x 3 = 18 (l)

Số dầu thùng 2 là: 48 - 18 = 30 (l)

Đáp số: Thùng 1: 18 l dầu

              Thùng 2: 30 l dầu

              Thùng 3: 36 l dầu