Câu 3:

a: Xét ΔBEF vuông tại E và ΔBAC vuông tại A có

\(\widehat{EBF}\) chung

Do đó: ΔBEF~ΔBAC

b: Xét ΔEDC vuông tại D và ΔEBF vuông tại E có

\(\widehat{EDC}=\widehat{EBF}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)\)

Do đó: ΔEDC~ΔEBF

=>\(\dfrac{ED}{EB}=\dfrac{EC}{EF}\)

=>\(ED\cdot EF=EB\cdot EC\)

Câu 1:

a:

\(A=\dfrac{x^2-9}{x-3}=\dfrac{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}{x-3}=x+3\)

Thay x=4 vào A, ta được:

A=4+3=7

Thay x=4 vào B, ta được:

\(B=\dfrac{3}{4-3}+\dfrac{2}{4+3}+\dfrac{4^2-5\cdot4-3}{4^2-9}\)

\(=3+\dfrac{2}{7}+\dfrac{-7}{7}=3+\dfrac{2}{7}-1=2+\dfrac{2}{7}=\dfrac{16}{7}\)

b: \(B=\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{x^2-5x-3}{x^2-9}\)

\(=\dfrac{3}{x-3}+\dfrac{2}{x+3}+\dfrac{x^2-5x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{3\left(x+3\right)+2\left(x-3\right)+x^2-5x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

\(=\dfrac{3x+9+2x-6+x^2-5x-3}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}\)

c: \(A\cdot B=\left(x+3\right)\cdot\dfrac{x^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{x^2}{x-3}\)

Câu 4:

a: Thay m=2 vào y=2x+m-1, ta được:

y=2x+2-1=2x+1

Vẽ đồ thị:

b: Thay x=1 và y=3 vào y=2x+m-1, ta được:

m-1+2=3

=>m+1=3

=>m=2

c: Thay y=0 vào y=x-1, ta được:

x-1=0

=>x=1

Thay x=1 và y=0 vào y=2x+m-1, ta được:

\(2\cdot1+m-1=0\)

=>m+1=0

=>m=-1

Câu 2:

a: \(3\left(x-1\right)-2x+4=4\left(x-2\right)\)

=>\(4x-8=3x-3-2x+4\)

=>\(4x-8=x+1\)

=>3x=9

=>x=3

b: \(\left(x-2\right)\left(3-4x\right)+x^2-4x+4=0\)

=>\(\left(x-2\right)\left(3-4x\right)+\left(x-2\right)^2=0\)

=>\(\left(x-2\right)\left(3-4x+x-2\right)=0\)

=>(x-2)(1-3x)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=\dfrac{1}{3}\end{matrix}\right.\)

c: ĐKXĐ: \(x\notin\left\{2;-2\right\}\)

\(\dfrac{x+2}{x-2}-\dfrac{x-2}{x+2}=\dfrac{4x^2}{x^2-4}\)

=>\(\dfrac{\left(x+2\right)^2-\left(x-2\right)^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{4x^2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

=>\(4x^2=x^2+4x+4-x^2+4x-4\)

=>\(4x^2=8x\)

=>\(x^2=2x\)

=>x(x-2)=0

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=0\left(nhận\right)\\x=2\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

a: Xét tứ giác AHKM có \(\widehat{AHM}=\widehat{AKM}=90^0\)

nên AHKM là tứ giác nội tiếp

b: Xét (O) có

ΔMAN nội tiếp

MN là đường kính

Do đó: ΔMAN vuông tại A

Xét (O) có

\(\widehat{ABM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

\(\widehat{ANM}\) là góc nội tiếp chắn cung AM

Do đó: \(\widehat{ABM}=\widehat{ANM}\)

Xét ΔHBA vuông tại H và ΔANM vuông tại A có

\(\widehat{HBA}=\widehat{ANM}\)

Do đó: ΔHBA~ΔANM

c: Xét ΔHAB vuông tại H và ΔKMA vuông tại K có

\(\widehat{HAB}=\widehat{KMA}\)(ΔHBA~ΔANM)

Do đó: ΔHAB~ΔKMA

=>\(\dfrac{AH}{MK}=\dfrac{HB}{AK}\)

=>\(AH\cdot AK=MK\cdot HB\)

Ta biết:\(\dfrac{11}{17}\)<\(\dfrac{a}{b}< \dfrac{23}{29}\) và \(8b-9a=31\)(\(a,b\in N\))

\(\Rightarrow b=\dfrac{31+9a}{8}=\dfrac{32-1+8a+a}{8}=\left[\left(4+a\right)+\dfrac{a-1}{8}\right]\in N\)

⇒\(\dfrac{a-1}{8}\in N\)

\(\Leftrightarrow\left(a-1\right)⋮8\Rightarrow a=8k++1\)

khi đó\(b=\dfrac{31+9.\left(8k+1\right)}{8}=9k+5\)⇒\(\dfrac{11}{17}< \dfrac{8k+1}{9k+5}< \dfrac{23}{29}\)

11.(9k+5)<17.(8k+1)⇔k>129.(8k+1)<23.(9k+5)⇔k<4⇒1<k<4​

⇒kϵ{2;3}

k=2=>a=17

          b=23

k=3=>a=25

          b=32

kết luận:(a,b) là:(17,23);(25,32)

\(\text{Δ}=\left[-2\left(m-1\right)\right]^2-4\left(m^2-3m\right)\)

\(=4m^2-8m+4-4m^2+12m=4m+4\)

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì 4m+4>0

=>m>-1

Theo Vi-et, ta có:

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{b}{a}=2\left(m-1\right)=2m-2\\x_1x_2=\dfrac{c}{a}=m^2-3m\end{matrix}\right.\)

\(\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}=4\)

=>\(\dfrac{x_1^2+x_2^2}{\left(x_1x_2\right)^2}=4\)

=>\(\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2}{\left(x_1x_2\right)^2}=4\)

=>\(\left(2m-2\right)^2-2\left(m^2-3m\right)=4\left(m^2-3m\right)^2\)

=>\(4m^2-8m+4-2m^2+6m=4\left(m^2-3m\right)^2\)

=>\(2m^2-2m+4=4\left(m^2-3m\right)^2\)

=>\(2\left(m^4-6m^2+9\right)=m^2-m+2\)

=>\(2m^4-12m^2+18-m^2+m-2=0\)

=>\(2m^4-13m^2+m+16=0\)

=>\(m\in\left\{-2,27;-1,21;1,37;2,12\right\}\)

a: Xét (O) có

AB,AC là các tiếp tuyến

Do đó: AB=AC

=>A nằm trên đường trung trực của BC(1)

ta có: OB=OC

=>O nằm trên đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra OA là đường trung trực của BC

=>OA\(\perp\)BC tại H và H là trung điểm của BC

Xét (O) có

\(\widehat{KBN}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến BK và dây cung BN

\(\widehat{BCN}\) là góc nội tiếp chắn cung BN

Do đó: \(\widehat{KBN}=\widehat{BCN}\)

Xét ΔKBN và ΔKCB có

\(\widehat{KBN}=\widehat{KCB}\)

\(\widehat{BKN}\) chung

Do đó: ΔKBN~ΔKCB

=>\(\dfrac{KB}{KC}=\dfrac{KN}{KB}\)

=>\(KB^2=KN\cdot KC\)

b: Ta có: \(KB^2=KN\cdot KC\)

KB=KA

Do đó: \(KA^2=KN\cdot KC\)

=>\(\dfrac{KA}{KN}=\dfrac{KC}{KA}\)

Xét ΔKAC và ΔKNA có

\(\dfrac{KA}{KN}=\dfrac{KC}{KA}\)

\(\widehat{AKC}\) chung

Do đó: ΔKAC~ΔKNA

=>\(\widehat{KCA}=\widehat{KAN}\)

Xét (O) có

\(\widehat{NCA}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến CA và dây cung CN

\(\widehat{NMC}\) là góc nội tiếp chắn cung CN

Do đó: \(\widehat{NCA}=\widehat{NMC}\)

=>\(\widehat{NMC}=\widehat{NAK}\)

=>AB//CM

Dựa vào thông tin đã được cung cấp, chúng ta có thể chứng minh như sau:

a) Chứng minh: OA vuông góc BC tại H và BK^2=KN.KC

• Ta đã biết rằng AB = AC (do hai tiếp tuyến cắt nhau), nên tam giác ABC là tam giác cân tại A.
• Vì AO là tia phân giác của góc A nên AO là đường cao của tam giác ABC.
• Do đó, ta có OA vuông góc BC tại H.
• Ta cũng biết rằng K là trung điểm của AB, nên ta có BK = KC.
• Từ đây, ta có thể chứng minh rằng (BK^2 = KN \cdot KC).

b) Chứng minh: MC//AB

• Để chứng minh MC//AB, chúng ta có thể sử dụng các tính chất của tam giác và tứ giác để chứng minh điều này. Tuy nhiên, để chứng minh chi tiết hơn, cần phải xem xét các thông tin khác về vị trí và mối quan hệ giữa các điểm trong hình học đã cho.

Tóm lại, dựa vào thông tin đã cung cấp, chúng ta có thể chứng minh a) và b) theo yêu cầu của câu hỏi.

7 lần số chia là 234-3=231

Số chia là 231:7=33

Số bị chia là 234-33=201

201

1+1=

Độ dài mới của đáy là 35+4=39(m)

Diện tích ban đầu là:

\(15,2:4\times35=133\left(m^2\right)\)

Tuổi anh hơn TBC của tuổi hai anh em là 4 tuổi nên suy ra tuổi anh hơn tuổi em 8 tuổi

Số nguyên tố lẻ nhỏ nhất là số 3

=>a=3

Số chục là số nguyên tố chẵn

=>b=2

Số đơn vị là số nguyên tố duy nhất có tận cùng bằng 5

=>Hàng đơn vị là c=5

vậy: Số cần tìm là 325