\(2^2+3^2+...+2021^2\)

\(=\left(1^2+2^2+...+2021^2\right)-1\)

\(=\dfrac{2021\cdot\left(2021+1\right)\left(2\cdot2021+1\right)}{6}=1\)

\(=2753594310\)

Gọi số điểm cho trước là x(điểm)

(Điều kiện: \(x\in Z^+;x>3\))

Số điểm không thẳng hàng là x-3(điểm)

TH1: vẽ 1 đường thẳng đi qua 3 điểm thẳng hàng

=>Có 1 đường thẳng

TH2: Chọn 2 điểm bất kì trong x-3 điểm còn lại

Số đường thẳng là \(C^2_{x-3}=\dfrac{\left(x-3\right)!}{\left(x-3-2\right)!\cdot2!}=\dfrac{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}{2}\)(đường)

TH3: Chọn 1 điểm trong 3 điểm thẳng hàng, 1 điểm trong x-3 điểm còn lại

=>Có 3(x-3) đường thẳng 

Tổng số đường thẳng là 120 đường nên ta có:

\(1+\dfrac{\left(x-4\right)\left(x-3\right)}{2}+3\left(x-3\right)=120\)

=>\(\dfrac{2+\left(x-4\right)\left(x-3\right)+6\left(x-3\right)}{2}=120\)

=>2+(x-4)(x-3)+6(x-3)=240

=>\(2+x^2-7x+12+6x-18=240\)

=>\(x^2-x-244=0\)

=>\(\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{1+\sqrt{977}}{2}\left(loại\right)\\x=\dfrac{1-\sqrt{977}}{2}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

1: \(5^{x+4}-3\cdot5^{x+3}=2\cdot5^{11}\)

=>\(5^{x+3}\cdot5-3\cdot5^{x+3}=2\cdot5^{11}\)

=>\(2\cdot5^{x+3}=2\cdot5^{11}\)

=>x+3=11

=>x=8

2: \(\dfrac{1}{2}\cdot2^x+4\cdot2^x=9\cdot2^5\)

=>\(2^x\cdot\left(\dfrac{1}{2}+4\right)=9\cdot2^5\)

=>\(2^x\cdot\dfrac{9}{2}=9\cdot2^5\)

=>\(2^x=2^6\)

=>x=6

3: \(9^{2x+1}=27^3\)

=>\(3^{4x+2}=3^9\)

=>4x+2=9

=>4x=7

=>\(x=\dfrac{7}{4}\)

4: \(2^{-1}\cdot2^x+4\cdot2^x=9\cdot2^5\)

=>\(2^x\left(4+\dfrac{1}{2}\right)=9\cdot2^5\)

=>\(2^x\cdot\dfrac{9}{2}=9\cdot2^5\)

=>\(2^x=9\cdot2^5:\dfrac{9}{2}=2^6\)

=>x=6

5: \(\left(2x-1\right)^3=\dfrac{8}{27}\)

=>\(\left(2x-1\right)^3=\left(\dfrac{2}{3}\right)^3\)

=>\(2x-1=\dfrac{2}{3}\)

=>\(2x=\dfrac{2}{3}+1=\dfrac{5}{3}\)

=>\(x=\dfrac{5}{3}:2=\dfrac{5}{6}\)

b: \(\dfrac{4^5+4^5+4^5+4^5}{3^5+3^5+3^5}\cdot\dfrac{6^5+6^5+6^5+6^5+6^5+6^5}{2^5+2^5}=8^x\)

=>\(8^x=\dfrac{4\cdot4^5}{3\cdot3^5}\cdot\dfrac{6\cdot6^5}{2\cdot2^5}\)

=>\(8^x=\dfrac{4^6}{2^6}\cdot\dfrac{6^6}{3^6}=2^6\cdot2^6=2^{12}=\left(2^3\right)^4=8^4\)

=>x=4

Bài 6: Oz là phân giác của góc xOy

=>\(\widehat{xOz}=\dfrac{\widehat{xOy}}{2}=\dfrac{142^0}{2}=71^0\)

Ta có: \(\widehat{xOz}+\widehat{x'Oz}=180^0\)(hai góc kề bù)

=>\(\widehat{x'Oz}+71^0=180^0\)

=>\(\widehat{x'Oz}=109^0\)

Bài 7:

Ta có: Oz là phân giác của góc xOy

=>\(\widehat{xOz}=\widehat{yOz}=\dfrac{\widehat{xOy}}{2}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

Ot là phân giác của góc xOz

=>\(\widehat{zOt}=\dfrac{\widehat{xOz}}{2}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)

Ov là phân giác của góc yOz

=>\(\widehat{vOz}=\dfrac{90^0}{2}=45^0\)

\(\widehat{vOt}=\widehat{zOv}+\widehat{zOt}=45^0+45^0=90^0\)

a: Xét ΔAPE vuông tại P và ΔAPH vuông tại P có

AP chung

PE=PH

Do đó: ΔAPE=ΔAPH

Xét ΔAQH vuông tại Q và ΔAQF vuông tại Q có

AQ chung

QH=QF

Do đó; ΔAQH=ΔAQF

b: ΔAPE=ΔAPH

=>\(\widehat{PAE}=\widehat{PAH}\)

=>AP là phân giác của góc HAE

ΔAQH=ΔAQF

=>\(\widehat{QAH}=\widehat{QAF}\)

=>AQ là phân giác của góc HAF

\(\widehat{EAF}=\widehat{EAH}+\widehat{FAH}\)

\(=2\widehat{QAH}+2\cdot\widehat{PAH}=2\cdot\left(\widehat{QAH}+\widehat{PAH}\right)\)

\(=2\cdot\widehat{QAP}=180^0\)

=>E,A,F thẳng hàng

sửa đề chia hết 31 nhé 

\(S=5+5^2+5^3+...+5^{2019}=5\left(1+5+5^2+5^3\right)+...+5^{2016}\left(1+5+5^2+5^3\right)\)

\(=31\left(5+...+5^{2016}\right)⋮31\)

Vậy ta có đpcm 

Bài 1:

\(3^{39}< 3^{40}=\left(3^4\right)^{10}=81^{10}\)

\(11^{21}>11^{20}=121^{10}\)

mà 121>81

nên \(11^{21}>3^{39}\)

Bài 2:

\(5^{27}=\left(5^3\right)^9=125^9;2^{63}=\left(2^7\right)^9=128^9\)

mà 125<128

nên \(5^{27}< 2^{63}\)

\(2^{63}=\left(2^9\right)^7=512^7;5^{28}=\left(5^4\right)^7=625^7\)

mà 512<625

nên \(2^{63}< 5^{28}\)

Do đó: \(5^{27}< 2^{63}< 5^{28}\)

Bài 2:

a) \(\dfrac{-7}{-13}=\dfrac{7}{13}\) là số hưu tỉ dương

b) \(\dfrac{2}{-17}=-\dfrac{2}{17}\) là số hưu tỉ âm

c) \(-\dfrac{-6}{5}=\dfrac{6}{5}\) là số hưu tỉ dương

Bài 3:

a) \(-2\dfrac{1}{4}=-\left(2+\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{9}{4}\)

b) \(6\dfrac{2}{3}=6+\dfrac{2}{3}=\dfrac{20}{3}\)

c) \(-3\dfrac{1}{4}=-\left(3+\dfrac{1}{4}\right)=-\dfrac{13}{4}\)

\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x+2}=16^{4-2x}\)

=>\(2^{-x-2}=2^{4\left(4-2x\right)}\)

=>-x-2=4*(4-2x)

=>-x-2=16-8x

=>-x+8x=16+2

=>7x=18

=>\(x=\dfrac{18}{7}\)