Bổ đề 1: Xét tứ giác MNPQ là tứ giác lồi có MP giao NQ tại R. Gọi H,K lần lượt là trực tâm của tam giác MRN;PRQ. U và V lần lượt là trung điểm của NP và MQ. Khi đó UV vuông góc với HK.

Bổ đề 2: Xét tam giác ABC nội tiếp (O), L là điểm chính giữa cung BAC. Lấy X thuộc cạnh AB, Y thuộc cạnh AC sao cho BX = CY. Khi đó LX = LY.

Hai bổ đề trên rất quen thuộc, các bạn tự chứng minh.

Giải bài toán: Đặt M,N thứ tự là trung điểm của BD,CE. Ta có BM = CN (= BD/2 = CE/2)

Gọi K là trung điểm cung BAC. Theo Bổ đề 2 thì KM = KN (1)

Dễ thấy ID = IC; IB = IE; BD = CE. Suy ra \(\Delta\)BID = \(\Delta\)EIC (c.c.c)

Hai tam giác trên có trung tuyến tương ứng là IM,IN. Do đó IM = IN (2)

Để ý rằng I là trực tâm của \(\Delta\)BFC. Áp dụng Bổ đề 1 vào tứ giác BDEC ta được IH vuông góc MN  (3)

Từ (1);(2) và (3) suy ra ba điểm I,H,K thẳng hàng. Đó là điều phải chứng minh.

Gọi K và L lần lượt là tâm bàng tiếp góc C và góc B của \(\Delta\)ABC. Khi đó dễ thấy:

Tâm nội tiếp I của \(\Delta\)ABC chính là trực tâm của \(\Delta\)KI_aL ; O là tâm đường tròn Euler của \(\Delta\)KI_aL

Từ đó nếu ta gọi J và T thứ tự là tâm ngoại tiếp \(\Delta\)KI_aL và KIL thì I và J đối xứng nhau qua O

Đồng thời T và J đối xứng nhau qua KL; TJ = II_a; TJ // II_a . Suy ra T và I_a đối xứng nhau qua O (1)

Ta thấy tứ giác AICL nội tiếp nên P_B'/(T) = B'I.B'L = B'A.B'C = P_B'/(O) 

Suy ra B' nằm trên trục đẳng phương của (O) và (T). Tương tự với điểm C'.

Do đó B'C' là trục đẳng phương của (O) và (T) hay B'C' vuông góc với OT  (2)

Từ (1) và (2) suy ra OI_a vuông góc với B'C' (đpcm).

?

^^Thảo^^