\(\frac{a}{b+c}>\frac{a}{a+b+c}\) (do a > 0)

Tương tự: \(\frac{b}{a+c}>\frac{b}{a+b+c}\)

                \(\frac{c}{a+b}>\frac{c}{a+b+c}\)

Từ 3 bất đẳng thức trên suy ra:

  \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}>\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}+\frac{c}{a+b+c}=1\)

Ta sẽ chứng minh:

  \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)  

Thât vậy, do a, b, c là các cạnh của tam giác nên bất đẳng thức trên tương đương với

   \(a\left(a+b+c\right)< 2a\left(b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow a^2+ab+ac< 2ab+2ac\)

\(\Leftrightarrow a\left(a-b-c\right)< 0\)

Bất đẳng thức này đúng vì a>0 và a < b + c (vì trong tam giác, tổng hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba).

Vậy ta có: \(\frac{a}{b+c}< \frac{2a}{a+b+c}\)

Tương tự, \(\frac{b}{a+c}< \frac{2b}{a+b+c}\)

               \(\frac{c}{a+b}< \frac{2c}{a+b+c}\)

Cộng 3 bất đẳng thức trên suy ra:

  \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< \frac{2a}{a+b+c}+\frac{2b}{a+b+c}+\frac{2c}{a+b+c}=2\)

Vậy bài toán đã được chứng minh.

Mình chỉ chứng minh được bé hơn 2 thôi nhe

Theo bất đẳng thức tam giác thì b+c>a => \(\frac{a}{b+c}< \frac{a}{a}\left(=1\right)\)

Tương tự ta cũng có 

\(\frac{b}{a+c}< 1\)

\(\frac{c}{a+b}< 1\)

=> \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}< 3\)

0! = 1 nha bạn

ghi rõ đầy đủ cách giải nữa

Cơ số Hệ đếm là tập hợp các ký hiệu và qui tắc sử dụng tập ký hiệu đó để biểu diễn và xác định các giá trị các số. Mỗi hệ đếm có một số ký số (digits) hữu hạn. Tổng số kýsố của mỗi hệ đếm được gọi là cơ số (base hay radix), ký hiệu là b.

Số thực. Trong toán học, các số thực có thể được mô tả một cách không chính thức theo nhiều cách. Số thựcbao gồm cả số dương, số 0 và số âm, số hữu tỉ, chẳng hạn 42 và -23/129, và số vô tỉ, chẳng hạn số pi và căn bậc hai của 2; số thực có thể được xem là các điểm nằm trên một trục số dài vô hạn.

Số thực là các số được biểu diễn trên trục số.Bao gồm số thực dương và số thực âm

Có đúng không mọi người ?

khai triển ra còn 4x^2+4y^2+1/x^2+1/y^2+8 =4(x^2+y^2)+(1/x^2+1/y^2)+8

>/ 4.(x+y)^2/2+8/(x+y)^2+8=18

"=" khi x=y=1/2

Đặt \(2x+\frac{1}{x}=a;2y+\frac{1}{y}=b\)

Ta có \(a^2+b^2>=2ab=>2\left(a^2+b^2\right)>=a^2+b^2+2ab=\left(a+b\right)^2\)

=>\(a^2+b^2>=\frac{\left(a+b\right)^2}{2}\)

Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của a+b

ta có \(a+b=2x+\frac{1}{x}+2y+\frac{1}{y}=2\left(x+y\right)+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\)

Áp dụng BĐT cauchy \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}>=\frac{4}{x+y}\)

=>\(a+b>=2+\frac{4}{x+y}=6\)

=>a\(a^2+b^2>=\frac{6^2}{2}=18\)

=>Min \(\left(2x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{y}\right)^2\)=18

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)

 \(\left(x-1\right)\left(x-3\right)\left(x-4\right)\left(x-6\right)+9\ge0\)

 \(\Leftrightarrow\left(x^2-7x+6\right)\left(x^2-7x+12\right)+9\ge0\)    [ Nhân ( x - 1) với ( x - 6 ) và ( x - 3 ) với ( x - 4 ) ]

Đặt     \(x^2-7x+9=y\) ta được :

 \(\left(x^2-7x+6\right)\left(x^2-7x+12\right)+9\ge0\)

 \(\Leftrightarrow\left(y-3\right)\left(y+3\right)+9\ge0\)

 \(\Leftrightarrow y^2-9+9\ge0\)

\(\Leftrightarrow y^2\ge0\)( điều hiển nhiên ) \(\Rightarrow dpcm\)

tk cho mk nka !!!

khó lắm !

2. Có hai cách nhé

Cách 1: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x² - 24x + 3y² + 18y + 36 
--> P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3y(y + 6) + 36 
--> P = [ 12x(x - 2) + 36 ] + xy(x - 2)(y + 6) + 3y(y + 6) 
--> P = 12[x(x - 2) + 3] + y(y + 6).[x(x - 2) + 3] 
--> P = [x(x - 2) + 3].[y(y + 6) + 12] 
--> P = (x² - 2x + 3)(y² + 6y + 12) 
--> P = [(x - 1)² + 2].[(y + 3)² + 3] ≥ 2.3 = 6 > 0 

Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ; y = -3 
Vậy MinP = 6 ⇔ x = 1 ; y = -3 

Cách 2: P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x² - 24x + 3y² + 18y + 36 
--> P = xy(x - 2)(y + 6) + 12x(x - 2) + 3(y + 3)² + 9 
--> P = x(x - 2)[y(y - 6) + 12] + 3(y + 3)² +9 
--> P = x(x - 2)[(y + 3)² + 3] + 3(y + 3)² + 9 
--> P = x(x - 2)(y + 3)² + 3x(x - 2) + 3(y + 3)² + 9 
--> P = (y + 3)²[x(x - 2) + 3] + 3x(x - 2) + 9 
--> P = (y + 3)²[(x - 1)² + 2] + 3x² - 6x + 9 
--> P = (y + 3)²(x - 1)² + 2(y + 3)² + 3(x - 1)² + 6 ≥ 6 

Dấu " = " xảy ra ⇔ x = 1 ; y = -3 
Vậy MinP = 6 ⇔ x = 1 ; y = -3 

P/S: MinP = 6 > 0 ∀ x, y ∈ R --> P luôn dương ∀ x, y ∈ R 
Mình nghĩ phần CM: "P luôn dương với mọi x,y thuộc R." là hơi thừa :-) 

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

Ta có : \(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}+4\ge3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)\)    (*)

\(\Leftrightarrow\frac{x^2}{y^2}+2.\frac{x}{y}.\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2\ge0\)   (**)

Đặt \(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}=t\Rightarrow t\ge2\sqrt{\frac{x}{y}.\frac{y}{x}}=2\)

Vậy thì \(\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)^2-3\left(\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\right)+2=t^2-3t+2=\left(t-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}\)

\(\ge\left(2-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}=0\)

Vậy bất đẳng thức  (**) đúng hay bất đẳng thức (*) đúng

Ta có:

\(A=a+b+c+\frac{3}{a}+\frac{9}{2b}+\frac{4}{c}\)

\(=\left(\frac{3a}{4}+\frac{3}{a}\right)+\left(\frac{b}{2}+\frac{9}{2b}\right)+\left(\frac{c}{4}+\frac{4}{c}\right)+\left(\frac{a}{4}+\frac{b}{2}+\frac{3c}{4}\right)\)

\(\ge2\sqrt{\frac{3a}{4}.\frac{3}{a}}+2\sqrt{\frac{b}{2}.\frac{9}{2b}}+2\sqrt{\frac{c}{4}.\frac{4}{c}}+\frac{1}{4}.\left(a+2b+3c\right)\)

\(\ge3+3+2+\frac{20}{4}=13\)

Vậy GTNN của A là 13 đạt được khi \(\hept{\begin{cases}a=2\\b=3\\c=4\end{cases}}\)

 _(Từ đầu bài ta có: GTNN của A là 13 đạt được khi: b = 3 và c =

a =  9 - (3 + 4)

= 2

vì\(9!-2!=362878\)

Mà \(7!=5040\)

Nên \(9!-2!\ne7!\)

mk cũng bị hết lượt ( T_T )

Ta có : A = \(\frac{-5x}{x^2-3x+\frac{9}{4}+\frac{31}{4}}\)= \(\frac{-5x}{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{31}{4}}\)Vì \(\left(x-\frac{3}{2}\right)^2\)>0 hoặc =0 , khi công thêm \(\frac{31}{4}\)thì Mẫu số luôn lớ hơn hoặc bằng 0. Mà -5x luôn bé hơn hoặc bằng 0

Vì vậy biểu thức A luôn âm 

cảm ơn bạn rất nhều !!!