1. Cho đường tròn (O), đường kính AB. Trên tiếp tuyến của (O) tại A lấy điểm M (M khác A). Từ M kẻ cát tuyến MCD (C nằm ở giữa M và D; tia MC nằm giữa MA và MO) và tiếp tuyến thứ hai MI (I là tiếp điểm) với đường tròn (O). Đường thẳng BC và BD cắt đường thẳng OM lần lượt tại E và F. Chứng minh:

a) Bốn điểm A, M, I và O nằm trên một đường tròn.

b) IAB = AMO.

c)  O là trung điểm của EF

2. 

Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R).Từ A,B,C lần lượt kẻ các đường cao tương ứng AD,BE,CF xuống các cạnh BC,CA,AB (DÎ BC,EÎ AC,FÎ AB).

a)   Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp một đường tròn.

b)   Chứng minh: AE.AC = AF.AB.

c)   Tính diện tích của tam giác ABC, biết R = 2 cm và chu vi của tam giác DEF

     bằng 10 cm.

3. 

Cho đường tròn (O), M là một điểm nằm ngoài đường tròn (O). Qua M  kẻ hai tiếp tuyến MA, MB đến đường tròn (O) với A, B là tiếp điểm; MPQ là một cát tuyến không đi qua tâm của đường tròn (O), P nằm giữa M và Q. Qua P kẻ đường thẳng vuông góc với OA cắt AB, AQ tương ứng tại R, S. Gọi trung điểm đoạn PQ là N. Chứng minh rằng:

1. Các điểm M, A, N, O, B cùng thuộc một đường tròn, chỉ rõ bán kính của đường tròn đó.

2. PR = RS.

Bác Tư có 2 người con đang học trên thành phố. Vì hoàn cảnh gia đình nghèo để lo việc học cho các con, Bác đã quyết định bán 1 phần mảnh đất hình chữ nhật có chu vi là 200m. Mảnh đất còn lại sau khi bán là 1 hình vuông có cạnh bằng với chiều rộng  của hình chữ nhật ban đầu. Tính số tiền lớn nhất mà Bác Tư nhận được khi bán đất, biết giá tiền 1 mét vuông đất khi bán là 2000000 VNĐ.