\(12z^2+16z=4z\left(3z+4\right)\)

Cho tam giác ABC với I là trung điểm của BC và tia phân giác của góc AIB cắt AB tại M và tia phân giác của góc AIC cắt N.Gọi O là giao điểm của MN và AI. a)CMR: OM=ON; b)Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để MN=AI; c)Tam giác ABC phải thỏa mãn điều kiện gì để tứ giác AMIN là hình vuông

\(\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}=\frac{3x^2-3x+3}{3x^2+3x+3}=\frac{x^2+x+1+2x^2-4x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}\)

                                                       \(=\frac{1}{3}+\frac{2x^2-4x+2}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{1}{3}+\frac{2\left(x^2-2x+1\right)}{3\left(x^2+x+1\right)}=\frac{1}{3}+\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\)

Vì \(\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge0\left(\forall x\right)\)

\(\Rightarrow\frac{1}{3}+\frac{2\left(x-1\right)^2}{3\left(x^2+x+1\right)}\ge\frac{1}{3}\)

Dấu "=" xảy ra <=> 2(x-1)² = 0 <=> x-1 = 0 <=> x = 1

Vậy GTNN của biểu thức bằng 1/3 khi và chỉ khi x = 1

\(A=\frac{x^2-x+1}{x^2+x+1}\Leftrightarrow Ax^2+Ax+A=x^2-x+1\)

\(\Leftrightarrow x^2\left(A-1\right)+x\left(A+1\right)+\left(A-1\right)=0\) (1)

+) Xét A = 1 thì x = 0

+)Xét A khác 1 thì (1) có nghiệm tức là \(\Delta=\left(A+1\right)^2-4\left(A-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(A^2+2A+1\right)-4\left(A^2-2A+1\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow-3A^2+10A-3\ge0\Leftrightarrow3A^2-10A+3\le0\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{3}\le A\le3\)

Vậy ...

cho mk hỏi chút sao chỗ từ (1), (2) lại suy ra đc 1= x+y-xy vậy?

Bài ni t mần cho phát chán nó  rồi:))

Ta có:\(x^{2012}+y^{2012}=\left(x^{2011}+y^{2011}\right)\left(a+b\right)-ab\left(a^{2010}+b^{2010}\right)\left(1\right)\)

Mặt khác:\(x^{100}+y^{100}=x^{101}+y^{101}=x^{102}+y^{102}\left(2\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right)\Rightarrow1=x+y-xy\)

\(\Rightarrow\left(x-1\right)\left(y-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=1\Rightarrow1+y^{2010}=1+y^{2011}=1+y^{2012}\Rightarrow y=1\\y=1\Rightarrow x^{2010}+1=x^{2011}+1=x^{2012}+1\Rightarrow x=1\end{cases}}\)vì \(x;y\) là các số dương

Thay vào ta được:\(A=1^{2020}+1^{2020}=2\)

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 bộ số thực \(a+\frac{b}{ac}\), \(b+\frac{c}{ab}\)và \(c+\frac{a}{bc}\)

Ta có:

 \(a+\frac{b}{ac}\ge2\sqrt{\frac{ab}{ac}}=2\sqrt{\frac{b}{c}}\)(1)

\(b+\frac{c}{ab}\ge2\sqrt{\frac{bc}{ab}}=2\sqrt{\frac{c}{a}}\)(2)

\(c+\frac{a}{bc}\ge2\sqrt{\frac{ac}{bc}}=2\sqrt{\frac{a}{b}}\)(3)

Nhân vế theo vế (1),(2) và (3)

\(VT\ge8\sqrt{\frac{abc}{abc}}=8\)

Vậy ....................

hợp lí , cảm ơn bn nha

Đặt x + 4 = t

Ta có: \(\left(x+2\right)^2+\left(x+3\right)^3+\left(x+4\right)^4=2\)

\(\Leftrightarrow\left(t-2\right)^2+\left(t-1\right)^3+t^4=2\)

\(\Leftrightarrow t^2-4t+4+t^3-3t^2+3t-1+t^4=2\)

\(\Leftrightarrow t^4+t^3-2t^2-t+1=0\)

\(\Leftrightarrow t^2\left(t^2+t-1\right)-\left(t^2+t-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t^2-1\right)\left(t^2+t-1\right)=0\)

t có 4 nghiệm là: \(t=\pm1,\frac{\sqrt{5}-1}{2},\frac{-\sqrt{5}-1}{2}\)

Mà t = x + 4 nên \(x\in\left\{-5;-3;\frac{\sqrt{5}-9}{2};\frac{-\sqrt{5}-9}{2}\right\}\)

\(m^2x+1=x+m\)

\(\Leftrightarrow mx^2+1-x-m=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(m^2-1\right)-\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow x\left(m-1\right)\left(m+1\right)-\left(m-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left(mx+x-1\right)=0\)

Khi m=1 thì phương trình có vô số nghiệm

Khi m khác 1 thì \(x=\frac{1}{m+1}\)

Khi m=-1 thì phương trình vô nghiệm