CMR phương trình \(ax^2+\left(ab+1\right)x+b=0\)luôn có nghiệm vs mọi a,b
CÁC BẠN ZẢI NHANH ZÚP
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
a) \(\frac{\sqrt{2x^3}}{\sqrt{8x}}=\sqrt{\frac{2x^3}{8x}}=\frac{1}{2}x\)
b) \(\left(3-\sqrt{5}\right)\left(x+\sqrt{5}\right)=3^2-\left(\sqrt{5}\right)^2=9-5=4\)
c) \(\sqrt{\frac{3x^2y^4}{27}}=0\)
\(y\ne0\)
Thì \(\sqrt{\frac{3x^2y^4}{27}}=\frac{1}{3}xy^2\)
e) \(\frac{y}{x^2}\sqrt{\frac{36x^4}{y^2}}=\frac{y}{x^2}.\frac{6x^2}{\left|y\right|}=\frac{6y}{\left|y\right|}\)
Vì y < 0 nên \(\left|y\right|=-y\)
Vậy \(\frac{6y}{\left|y\right|}=\frac{6y}{-y}=-6\)
f) \(\frac{\sqrt{99999999}}{\sqrt{11111111}}=\sqrt{\frac{99999999}{11111111}}=\sqrt{9}=3\)
\(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\) \(\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{a+c}+1+\frac{c}{a+b}+1\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge\frac{9}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\)
thật vậy\(2\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}\right)\) =\(\left[\left(b+c\right)+\left(a+c\right)+\left(a+b\right)\right]\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b}\right)\ge9\) (ÁP DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC COSI)
ĐẲNG THỨC CUỐI ĐÚNG SUY RA ĐẲNG THỨC ĐẦU ĐƯỢC CHỨNG MINH
Đặt A=\(\sqrt{x-1-2\sqrt{x-2}}=\sqrt{\left(\sqrt{x-2}\right)^2-2\sqrt{x-2}.1+1^2}\)=\(\sqrt{\left(\sqrt{x-2}-1\right)^2}\)
Do\(x\ge3\)nên A =\(\sqrt{x-2}-1\)
CMR a+2b+c >= 4(1-a)(1-b)(1-c) - Bất đẳng thức và cực trị - Diễn đàn Toán học
bạn có thể giải giúp mình bài toán nay ko. giúp mình nha
\(\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{\left(1+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}{\left(\sqrt{3}-1\right)\left(\sqrt{3}+1\right)}=2+\sqrt{3}\)
\(\frac{2}{\sqrt{2}-1}=\frac{2\sqrt{2}+2}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}=2\sqrt{2}+2=\sqrt{8}+2\)
\(\Rightarrow\frac{2}{\sqrt{2}-1}>\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}\)
Ta cần chứng minh bất đẳng thức phụ: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\frac{\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge\frac{4ab}{ab\left(a+b\right)} \)
\(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(a^2+2ab+b^2-4ab\ge0\)
\(\left(a-b\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Xét c+1 = a+b+c+c
Áp dụng bất đẳng thức trên, ta có:
\(\frac{ab}{c+1}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{a+c}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\frac{bc}{a+1}\le\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{a+b}\right)\)
\(\frac{ca}{b+1}\le\frac{ca}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b+c}\right)\)
Cộng vế theo vế, ta có:
\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab}{b+c}+\frac{ab}{c+a}+\frac{bc}{c+a}+\frac{bc}{a+b}+\frac{ca}{a+b}+\frac{ca}{b+c}\right)\)
\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{ab+bc}{c+a}+\frac{bc+ca}{a+b}\right)\)
\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{a\left(b+c\right)}{b+c}+\frac{b\left(a+c\right)}{c+a}+\frac{c\left(b+a\right)}{a+b}\right)\)
\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)\)
\(\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ac}{b+1}\le\frac{1}{4}\)
=> Điều phải chứng minh
ta có với x,y>0 thì \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\Rightarrow\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\)(*) dấu "=" xảy ra khi x=y
áp dụng bđt (*) và do a+b+c=1 nên ta có
\(\frac{ab}{c+1}=\frac{ab}{\left(c+a\right)+\left(c+b\right)}\le\frac{ab}{4}\left(\frac{1}{c+a}+\frac{1}{c+b}\right)\)
tương tự ta có \(\frac{bc}{a+1}\le\frac{bc}{4}\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a+c}\right);\frac{ca}{b+1}\le\frac{ca}{4}\left(\frac{1}{b+a}+\frac{1}{b+c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{ca}{b+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{ab+bc}{c+a}+\frac{ab+ca}{b+c}+\frac{bc+ca}{a+b}\right)=\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)=\frac{1}{4}\)
\(\Rightarrow\frac{ab}{c+1}+\frac{bc}{a+1}+\frac{c+a}{b+1}\le\frac{1}{4}\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)