a, Tứ giác DPQM là hình chứ nhật vì có 3góc vuông ( D = Q = P= 90 độ)

b, Để DPMQ là hình vuông thì DM là tia pg của D. 

Vậy Mlà giao tỉa pg góc D và EF để DPMQ là hình vuông.

c, Ta có: Góc MDP và HDP đối xứng qua DE nên MDP = HDP   

Góc MDQ và GDQ đối xứng qua DF nên MDQ = GDQ 

HDG = HDP + MDP + MDQ+ GDQ = 2(MDP + MDQ)= 2.90 180 độ.(2)

HD và MD đối xứng qua ED nên HD = MD

GD và MD đối xứng qua DF nên GD = MD 

Suy ra HD = GD (1)

 từ (1) và (2) suy ra H đối xứng với G qua D

Kẻ phân giác AD,BK vuông góc với AD 
sin A/2=sinBAD 
xét tam giác AKB vuông tại K,có: 
sinBAD=BK/AB (1) 
xét tam giác BKD vuông tại K,có 
BK<=BD thay vào (1): 
sinBAD<=BD/AB(2) 
lại có:BD/CD=AB/AC 
=>BD/(BD+CD)=AB/(AB+AC) 
=>BD/BC=AB/(AB+AC) 
=>BD=(AB*BC)/(AB+AC) thay vào (2) 
sinBAD<=[(AB*BC)/(AB+AC)]/AB 
= BC/(AB + AC) 
=>ĐPCM

k cho mk nha

Kẻ phân giác AD,BK vuông góc với AD
sin A/2=sinBAD
xét tam giác AKB vuông tại K,có:
sinBAD=BK/AB (1)
xét tam giác BKD vuông tại K,có
BK<=BD thay vào (1):
sinBAD<=BD/AB(2)
lại có:BD/CD=AB/AC
=>BD/(BD+CD)=AB/(AB+AC)
=>BD/BC=AB/(AB+AC)
=>BD=(AB*BC)/(AB+AC) thay vào (2)
sinBAD<=[(AB*BC)/(AB+AC)]/AB
= BC/(AB + AC)
=>ĐPCM
kchúc cạu hok tốt @_@

\(x+y+z=0\) => \(x+y=-z\) => \(\left(x+y\right)^2=z^2\)

=> \(x^2+2xy+y^2=z^2\)

=> \(z^2-x^2-y^2=2xy\)

Tương tự:

   \(x^2-y^2-z^2=2yz\)

   \(y^2-z^2-x^2=2zx\)

Thay vào tính M ta có:

  \(M=\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2zx}+\frac{z^2}{2xy}\)

        \(=\frac{1}{2}\left(\frac{x^3+y^3+z^3}{xyz}\right)\)     (*)

Ta lại có: x + y + z = 0

=> x + y = -z => \(\left(x+y\right)^3=-z^3\)

=> \(x^3+3x^2y+3xy^2+y^3=-z^3\)

=> \(x^3+y^3+z^3=-3x^2y-3xy^2\)

=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(x+y\right)\)

=> \(x^3+y^3+z^3=-3xy\left(-z\right)\) (vì x + y = -z)

=> \(x^3+y^3+z^3=3xyz\)

Thay vào (*) ta có:

\(M=\frac{1}{2}\frac{3xyz}{xyz}=\frac{3}{2}\)

Có : x^2-6x+10 = (x^2-6x+9)+1 = (x-3)^2 +1 >= 1

=> B <= 5/1 = 5

Dấu "=" xảy ra <=> x-3 = 0 <=> x=3

Vậy GTLN của B = 5 <=> x=3

k mk nha

Có : x^2-2x+5 = (x^2-2x+1)+4 = (x-1)^2+4 >= 4

=> A >= -8/4 = -2

Dấu "=" xảy ra <=> x-1 = 0 <=> x=1

Vậy GTNN của A = -2 <=> x-1 = 0 <=> x=1

k mk nha

a) Xét \(\Delta\)AMC: OQ//AC (O\(\in\)AM; Q\(\in\)MC) => \(\frac{OM}{AM}=\frac{MQ}{MC}\)(1)

Tương tự, ta có: \(\frac{OM}{AM}=\frac{MJ}{BM}\)(2)

Từ (1) và (2) => \(\frac{OM}{AM}=\frac{MQ+MJ}{BM+MC}=\frac{JQ}{BC}\)(Tính chất dãy tỉ số bằng nhau)

Xét \(\Delta\)BNC: OQ//NC (O\(\in\)BN; Q\(\in\)BC) => \(\frac{ON}{BN}=\frac{QC}{BC}\)

Tương tự: \(\frac{OK}{CK}=\frac{BJ}{BC}\)

Vây \(\frac{OM}{AM}+\frac{ON}{BN}+\frac{OK}{CK}=\frac{JQ}{BC}+\frac{QC}{BC}+\frac{BJ}{BC}=\frac{BC}{BC}=1\)(đpcm).

b) Đề sai thì phải, theo mình nên sửa \(\frac{IJ}{AC}\)thành \(\frac{IJ}{AB}\)

Ta có: \(\frac{PQ}{AC}=\frac{BQ}{BC}\) và  \(\frac{IJ}{AB}=\frac{CJ}{BC}\)(Hệ quả ĐL Thales)

\(\frac{EF}{BC}=\frac{OE}{BC}+\frac{OF}{BC}\)

Lại có: \(\frac{OE}{BC}=\frac{OK}{KC}=\frac{BJ}{BC}\); \(\frac{OF}{BC}=\frac{ON}{BN}=\frac{QC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{EF}{BC}=\frac{BJ+QC}{BC}\)

\(\Rightarrow\frac{EF}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{IJ}{AB}=\frac{BJ+QC+BQ+CJ}{BC}=\frac{BJ+JQ+CJ+JQ+BJ+CJ}{BC}\)

\(=\frac{2BJ+2JQ+2CJ}{BC}=\frac{2.\left(BJ+JQ+CJ\right)}{BC}=\frac{2BC}{BC}=2\)

Vậy: \(\frac{EF}{BC}+\frac{PQ}{AC}+\frac{IJ}{AB}=2\)(đpcm).

áp dung bdt 1/x+1/y>=4/x+y ta co

\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{b+d}{b+c}+...\)

=(a+c)(\(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\)) + (b+d)(\(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{a+d}\))\(\ge\)\(\frac{4a+4c}{a+b+c+d}+\frac{4b+4d}{a+b+c+d}\)=4(dpcm)

= \(\left(a+c\right)\left(\frac{1}{a+b}+\frac{1}{c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{1}{b+c}+\frac{1}{d+a}\right)\)

Áp dụng \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)

\(\ge\left(a+c\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)+\left(b+d\right)\left(\frac{4}{a+b+c+d}\right)\)

\(\ge\frac{4\left(a+b+c+d\right)}{a+b+c+d}\)

Giả sử cả ba BĐT đều đúng, khi đó a(1−b)b(1−c)c(1−a)>164a(1−b)b(1−c)c(1−a)>164

Nhưng theo BĐT CauChy thì a(1−a)≤(a+1−a2)2=14a(1−a)≤(a+1−a2)2=14, tương tự ta có

a(1−b)b(1−c)c(1−a)≤164a(1−b)b(1−c)c(1−a)≤164, mâu thuẩn

Giả sử a(1-b),b(1-c),c(1-a)>1/4 

=> a(1-b).b(1-c).c(1-a)>(1/4)³

=> a(1-a).b(1-b).c(1-c)>(1/4)^3 

Ta có a(1-a)=1/4-(1/2-a)²<1/4 

CMTT b(1-b), c(1-c) <1/4 

=> a(1-b).b(1-c).c(1-a)<(1/4)³ trái với giả sử  

=> 1 trong các BĐT sai

Đặt \(A=a^2+b^2+c^2+d^2+e^2\)

\(\Leftrightarrow4A=\left(a^2+4b^2\right)+\left(a^2+4c^2\right)+\left(a^2+4d^2\right)+\left(a^2+4e^2\right)\)

\(\Rightarrow4A\ge4ab+4ac+4ad+4ae\)

\(\Rightarrow A\ge a\left(b+c+d+e\right)\)

Vậy.......

Áp dụng x²+y²>=2xy Ta có:

a²/4+b²>=ab

a²/4+c²>=ac 

a²/4+d²>=ad 

a²/4+e²>=ae 

=> a²+b²+c²+d²+e²>=a(b+c+d+e)