Ta có: ^MPB = ^ACB = 60⁰ => ^MPB = ^ABC hay ^MPB = ^NBP

Xét tứ giác BNMP có: MN // BP và ^MPB=^NBP => Tứ giác BNMP là hình thang cân

=> NP = BM. Tương tự: 2 tứ giác AQMN & CPMQ là htc => NQ=AM; PQ=CM

Ta thấy: \(\Delta\)NPQ là tam giác đều <=> NP=NQ=PQ <=> BM=AM=CM 

<=>  Điểm M cách đều 3 đỉnh A;B;C của \(\Delta\)ABC <=> M là tâm của tam giác đều ABC

Vậy khi M là tâm của \(\Delta\)ABC thì \(\Delta\)NPQ đều.

\(\frac{1}{x\left(x+2\right)}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{12}\)

<=> \(\frac{\left(x+1\right)^2}{x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2}-\frac{x\left(x+2\right)}{x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{12}\)

<=> \(\frac{x^2+2x+1-\left(x^2+2x\right)}{x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2}\)\(=\frac{1}{12}\)

<=> \(\frac{x^2+2x+1-x^2-2x}{x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{12}\)

<=> \(\frac{1}{x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{12}\)

=> \(12=x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2\)

<=> \(12=\left(x^2+2x\right)\left(x^2+2x+1\right)\)

<=> \(x^4+2x^3+x^2+2x^3+4x^2+2x=12\)

<=> \(x^4+4x^3+5x^2+2x=12\)

<=> \(x^4+x^3+3x^3+3x^2+2x^2+2x=12\)

<=> \(x^3\left(x+1\right)+3x^2\left(x+1\right)+2x\left(x+1\right)=12\)

<=> \(\left(x^3+3x^2+2x\right)\left(x+1\right)=12\)

<=> \(\left(x^3+x^2+2x^2+2x\right)\left(x+1\right)=12\)

<=> \(\left(x^2+2x\right)\left(x+1\right)\left(x+1\right)=12\)

<=> \(\left(x+1\right)^2\left(x^2+2x\right)=12\)

làm nốt nha

\(\frac{1}{x\left(x+2\right)}-\frac{1}{\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{12}\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+2x+1-x^2-2x}{x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{12}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2}=\frac{1}{12}\)

\(\Rightarrow x\left(x+2\right)\left(x+1\right)^2=12\)

Số 12 chỉ có 2 ước là số chính phương đó là 1 và 4

Với (x+1)²=1

=>x=0;-2

Với x = 0 thì trái với đề

Với x = -2 cũng trái với đề

Với (x+1)²=4

=>x=1;-3

Với x = 1 thì đúng 

Với x = -3 trái với đề

=> x = 1

\(a,\)Biết \(B=\frac{100.101}{2}=50.101\)

\(A=1^3+2^3+3^3+...+99^3+100^3\)

Xét \(A=\left(1^3+100^3\right)+\left(2^3+99^3\right)+...+\left(49^3+52^3\right)+\left(50^3+51^3\right)\)

\(\Rightarrow A=101.\left(1+100+100^2\right)+101.\left(2^2+2.99+99^2\right)+...+101\left(50^2+50.51+51^2\right)\)

\(\Rightarrow A=101\left(1+100+100^2+2^2+2.99+99^2+...+50^2+50.51+51^2\right)⋮101\)

Xét\(A=\left(1^3+99^3\right)+\left(2^3+98^3\right)+...+\left(49^3+51^3\right)+50^3\)

\(\Rightarrow A=100\left(1^2+1.99+99^2\right)+100\left(2^2+2.98+98^2\right)+...+100\left(49^2+49.51+51^2\right)+100.50.25⋮50\)

Vậy \(A⋮101.50=5050=B\)

Làm tương tự với câu b

\(x^2\left(2x+3\right)-8x-12=0\)

\(\Rightarrow x^2\left(2x+3\right)-4\left(2x+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(x^2-4\right)\left(2x+3\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x^2-4=0\\2x+3=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=2\\x=-2\\x=-\frac{3}{2}\end{cases}}\)

\(x^2\left(2x+3\right)-8x-12=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x^2\left(2x+3\right)-4\left(2x+3\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(2x+3\right)\left(x^2-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(2x+3\right)\left(x-2\right)\left(x+2\right)=0\)

   lm tiếp nhé

\(b,x^2-6x+8=0\)

\(\Rightarrow x^2-2.3.x+9=1\)

\(\Rightarrow\left(x-3\right)^2=1\)

\(\Rightarrow x-3=\orbr{\begin{cases}1\\-1\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x=\orbr{\begin{cases}4\\2\end{cases}}\)

\(d,x+5x^2=0\)

\(\Rightarrow x\left(1+5x\right)=0\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\1+5x=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-\frac{1}{5}\end{cases}}\)

a)  \(2x^2+5x-3=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x+3\right)\left(2x-1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x+3=0\\2x-1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=\frac{1}{2}\end{cases}}\)

Vậy...

b)  \(x^2-6x+8=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\left(x-2\right)\left(x-4\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x-2=0\\x-4=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=2\\x=4\end{cases}}\)

Vậy...

c)  \(x+5x^2=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(x\left(5x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=0\\5x+1=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-\frac{1}{5}\end{cases}}\)

Vậy...