`(a+b+c)^2`

`=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac`

\(\left(a+b+c\right)^2=\left[\left(a+b\right)+c\right]^2\\ =\left(a+b\right)^2+2\left(a+b\right)c+c^2\\ =a^2+2ab+b^2+2ac+2bc+c^2\\ =a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac\)

Lời giải:

$A=\sum \frac{x}{\sqrt{y^2+1}}=\sum \frac{x}{\sqrt{y^2+xy+yz+xz}}$

$=\sum \frac{x}{\sqrt{(y+x)(y+z)}}=\frac{x\sqrt{x+z}+y\sqrt{y+x}+z\sqrt{z+y}}{\sqrt{(x+y)(y+z)(x+z)}}$

Đặt $\sqrt{x+y}=a; \sqrt{y+z}=b; \sqrt{z+x}=c$ thì:

$x=\frac{a^2+b^2+c^2}{2}-b^2=\frac{a^2-b^2+c^2}{2}$. Tương tự:

$y=\frac{a^2+b^2-c^2}{2}; z=\frac{b^2+c^2-a^2}{2}$

$A=\frac{a(a^2+b^2-c^2)+b(b^2+c^2-a^2)+c(a^2+c^2-b^2)}{2abc}=\frac{(a^3+b^3+c^3)+(ab^2+bc^2+ca^2)-(a^2b+b^2c+c^2a)}{2abc}$
$\geq \frac{ab^2+bc^2+ca^2}{2abc}$ (BĐT quen thuộc $a^3+b^3+c^3\geq a^2b+b^2c+c^2a$)

$\geq \frac{3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}}{2abc}=\frac{3abc}{2abc}=\frac{3}{2}$ 

Vậy $A_{\min}=\frac{3}{2}$

Amin =3/2 dấu = xảy ra khi x=y=z= căn 1/3.  /

x³+3x²+3x+1          l    x²+2x+1

x³+2x²+x                     x+1

_______________

        x²+2x+1

         x²+2x+1

________________

                   0

\(\left(2x+3\right)\left(3x+a\right)=bx^2+cx-c\)

\(\Rightarrow6x^2+\left(2a+9\right)x+3a=bx^2+cx-c\)

\(\Rightarrow b=6;\left\{{}\begin{matrix}2a+9=c\\3a=-c\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a+9=c\\a=\dfrac{-c}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2.\dfrac{-c}{3}+9=c\\a=-\dfrac{c}{3}\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{9}{5}\\c=\dfrac{27}{5}\end{matrix}\right.\)

giúp câu hỏi của em vs ạ tí nữa em phải đi học rồi

\(A=\dfrac{x}{\sqrt{y^2+1}}+\dfrac{y}{\sqrt{z^2+1}}+\dfrac{z}{\sqrt{x^2+1}}\)

\(=\dfrac{x}{\sqrt{y^2+xy+yz+zx}}+\dfrac{y}{\sqrt{z^2+xy+yz+zx}}+\dfrac{z}{\sqrt{x^2+xy+yz+zx}}\)

\(=\dfrac{x}{\sqrt{y\left(y+x\right)+z\left(y+x\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{z\left(z+x\right)+y\left(z+x\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{x\left(x+y\right)+z\left(x+y\right)}}\)

\(=\dfrac{x}{\sqrt{\left(y+x\right)\left(y+z\right)}}+\dfrac{y}{\sqrt{\left(z+x\right)\left(z+y\right)}}+\dfrac{z}{\sqrt{\left(x+y\right)\left(x+z\right)}}\)

\(\ge^{Caushy}\dfrac{x}{\dfrac{\left(y+x\right)+\left(y+z\right)}{2}}+\dfrac{y}{\dfrac{\left(z+x\right)+\left(z+y\right)}{2}}+\dfrac{z}{\dfrac{\left(x+y\right)+\left(x+z\right)}{2}}\)

\(=\dfrac{2x}{2y+x+z}+\dfrac{2y}{2z+x+y}+\dfrac{2z}{2x+y+z}\)

\(=2\left(\dfrac{x^2}{2yx+x^2+zx}+\dfrac{y^2}{2zy+xy+y^2}+\dfrac{z^2}{2xz+yz+z^2}\right)\)

\(\ge^{Caushy-Schwarz}2.\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2yx+x^2+zx+2zy+xy+y^2+2xz+yz+z^2}\)

\(=2.\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x^2+y^2+z^2+2xy+2yz+2zx\right)+\left(xy+yz+zx\right)}\)

\(=2.\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^2+1}\)

Đặt \(\left(x+y+z\right)^2=t^2\). Ta có:

\(A\ge\dfrac{2t^2}{t^2+1}=\dfrac{2t^2+2-2}{t^2+1}=2-\dfrac{2}{t^2+1}\).

Ta lại có: \(t^2=\left(x+y+z\right)^2\ge3\left(xy+yz+zx\right)=3.1=3\)

\(\Rightarrow A\ge2-\dfrac{2}{3+1}=\dfrac{3}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)

Vậy \(MinA=\dfrac{3}{2}\)

*Gọi M là trung điểm BC.

*Gọi H là điểm đối xứng của G qua M.

△ABC có: 2 đường trung tuyến BD, CE cắt nhau tại G.

\(\Rightarrow\)G là trọng tâm của △ABC.

Mà M là trung điểm BC \(\Rightarrow\)A,G,M thẳng hàng; \(GA=2GF\)

Mà \(GH=2GF\Rightarrow GA=GH\).

Tứ giác BGCH có: 2 đường chéo BC, GH cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

\(\Rightarrow\)BGCH là hình bình hành.

Mà \(\widehat{BGC}=90^0\Rightarrow\)BGCH là hình chữ nhật.

\(\Rightarrow BC=GH=GA\)

Lấy \(F\) là trung điểm \(BC\). Khi đó \(A,G,F\) thẳng hàng. 

\(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên \(AG=\dfrac{2}{3}AF\) suy ra \(AG=2GF\).

Tam giác \(BGC\) vuông tại \(G\) trung tuyến \(GF\) nên \(GF=\dfrac{1}{2}BC\)

suy ra \(BC=AG\).

\(a)\) Điều kiện: \(x\ne\pm2\)

\(A=\left(\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{4}{x^2+4x+4}\right):\left(\dfrac{2}{x^2-4}+\dfrac{1}{2-x}\right)\)

\(=\left(\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{4}{\left(x+2\right)^2}\right):\left(\dfrac{2}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\dfrac{1}{x-2}\right)\)

\(=\dfrac{2\left(x+2\right)-4}{\left(x+2\right)^2}:\dfrac{2-\left(x+2\right)}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}\)

\(=\dfrac{2x}{\left(x+2\right)^2}.\dfrac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{-x}\)

\(=\dfrac{4-2x}{x+2}\)

\(b)\) \(x^2-3x=0\Leftrightarrow x\left(x-3\right)=0\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=3\end{matrix}\right.\)

Trường hợp 1: \(x=0\Rightarrow A=\dfrac{4-2.0}{0+2}=2\)

Trường hợp 2: \(x=3\Rightarrow A=\dfrac{4-2.3}{3+2}=\dfrac{-2}{5}\)

`(a+b)(a^2-a+b^2)+(a-b)(a^2+ab+b^2)`

`=a^3+b^3+a^3-b^3`

`=2a^3`

\(\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+\left(a-b\right)\left(a^2+ab+b^2\right)\)

\(=a^3+b^3+a^3-b^3=2a^3\)