ta lấy phương trình (1) trừ phương trình (2) ta được :

     x  +  y   -  xy  =   1

  \(\Leftrightarrow\)x  +  y   -  xy  - 1  =  0 

\(\Leftrightarrow\)x  (    1   -   y  )   -  (1  -  y)  =  0

\(\Leftrightarrow\)(1  -   y )(x -  1)  =  0

\(\Leftrightarrow\)\(\orbr{\begin{cases}1-y=0\\x-1=0\end{cases}}\)

Với \(1-y=0\Rightarrow y=1\Rightarrow x^2+1+x=7\Rightarrow x^2+x-6=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}x=-3\\x=2\end{cases}}\)

Với \(x-1=0\Rightarrow x=1\Rightarrow1+y^2+y=7\Rightarrow y^2+y-6=0\Rightarrow\orbr{\begin{cases}y=-3\\y=2\end{cases}}\)

Vậy ta có các cặp nghiệm (x ; y) tương ứng là  (1; -3) , (1; 2) ; (2; 1) , (-3; 1)

\(\frac{1}{x+y}\le\frac{x+y}{4xy}\)\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2\ge4xy.\)\(\Leftrightarrow x^2+2xy+y^2\ge4xy\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)(luôn đúng)\(\Rightarrowđpcm\)

AM-GM:\(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{4\left(x+y\right)}=\frac{1}{x+y}\)hay\(\frac{1}{x+y}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)\left(dpcm\right)\)

có nhiều nhất 99! trung điểm

có ít nhất 1 trung điểm

\(x^3-x^2-x=\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow x^3=x^2+x+\frac{1}{3}\)

\(\Leftrightarrow3x^2=3\left(x^2+x+\frac{1}{3}\right)\)

\(\Leftrightarrow3x^2=3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow3x^3+x^3=x^3+3x^3+3x+1\)

\(\Leftrightarrow4x^3=\left(x+1\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{\left(4x^3\right)}=\sqrt[3]{\left(x+1\right)^3}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{4.x}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt[3]{4.x}-x=1\)

\(\Leftrightarrow x\left(\sqrt[3]{4}-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{1}{\left(\sqrt[3]{4}-1\right)}\)