\(2xy+x-2y=4\\\Rightarrow (2xy+x)-2y-1=3\\\Rightarrow x(2y+1)-(2y+1)=3\\\Rightarrow (2y+1)(x-1)=3\)

Ta có: \(x,y\) nguyên

\(\Rightarrow2y+1;x-1\) là các ước của \(3\)

Mặt khác: \(2y+1\) là số lẻ với mọi \(y\) nguyên

Ta có bảng:

(thoả mãn điều kiện \(x,y\) nguyên)

Vậy: ...

#\(Toru\)

\((x+1)x-2(x+1)<0\\\Rightarrow (x+1)(x-2)<0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x+1>0\\x-2< 0\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x+1< 0\\x-2>0\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}\left\{{}\begin{matrix}x>-1\\x< 2\end{matrix}\right.\\\left\{{}\begin{matrix}x< -1\\x>2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}-1< x< 2\\\left\{{}\begin{matrix}x< -1\\x>2\end{matrix}\right.\left(vô.lí\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow-1< x< 2\)

#\(Toru\)

a) Để chứng minh a) ta cần chứng minh rằng góc ADC bằng góc BEC.

Vì AD là đường phân giác của góc BAC, nên ta có:

∠DAB = ∠DAC (1)

Tương tự, vì BE là đường phân giác của góc ABC, nên ta có:

∠CBA = ∠CBE (2)

Từ (1) và (2), ta có:

∠DAB + ∠CBA = ∠DAC + ∠CBE

∠DAB + ∠CBA = ∠BAC + ∠ABC

∠DAB + ∠CBA = ∠ABC + ∠BAC

Do đó, góc ADC bằng góc BEC.

Tiếp theo, để chứng minh rằng góc A bằng góc B, ta sử dụng định lý phụ của đường phân giác:

∠DAB = ∠DAC

∠EBA = ∠EBC

Vì ∠ADC = ∠BEC (đã chứng minh ở trên), nên ta có:

∠DAC + ∠ADC = ∠DAB + ∠ABC

∠DAB + ∠ABC = ∠DAC + ∠ADC

Từ đây, suy ra ∠A = ∠B.

Vậy, điều phải chứng minh a) đã được chứng minh.

b) Để chứng minh b), ta cần chứng minh rằng góc ADB bằng góc BEC.

Từ ∠ADB = ∠BEC (đã chứng minh ở a)), ta có:

∠ADB + ∠BEC = ∠BEC + ∠BEC

∠ADB + ∠BEC = 2∠BEC

∠ADB = ∠BEC

Do đó, góc ADB bằng góc BEC.

Tiếp theo, ta có:

∠A + ∠B + ∠C = 180° (định lý tổng các góc trong tam giác)

∠ADB + ∠B + ∠BEC = 180°

∠BEC + ∠B + ∠BEC = 180° (vì ∠ADB = ∠BEC)

2∠BEC + ∠B = 180°

2∠BEC = 180° - ∠B

∠BEC = (180° - ∠B) / 2

∠BEC = 90° - ∠B/2

∠BEC = 90° - ∠A/2 (vì ∠A = ∠B)

∠A/2 + ∠B/2 + ∠C = 90°

∠A/2 + ∠B/2 + ∠C = 90° - ∠A/2

∠A/2 + ∠A/2 + ∠C = 90° - ∠A/2

∠A + ∠C = 90° - ∠A/2

∠A + ∠C + ∠A/2 = 90°

2∠A + ∠C = 180°

∠A + ∠C = 180° - ∠A

∠A + ∠C = ∠B

∠A + ∠B + ∠C = 180°

∠A + ∠B + ∠C = 120° + 60°

∠A + ∠B + ∠C = 180°

Do đó, ∠A + ∠B = 120°.

Vậy, điều phải chứng minh b) đã được chứng minh.

Để chứng minh ΔAEB = ΔAEC, ta có thể sử dụng nguyên lý cắt giao. Vì AB = AC và AE là tia phân giác góc A, nên ta có AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Từ đó, ta có AE ⊥ BC. Vì AE là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta cũng có BE = EC. Như vậy, ta đã chứng minh được ΔAEB = ΔAEC.

Để chứng minh ΔMAB = ΔMAC, ta có thể sử dụng nguyên lý cắt giao. Vì AB = AC và M là trung điểm BC, nên ta có AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC. Từ đó, ta có AM ⊥ BC. Vì AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta cũng có MB = MC. Như vậy, ta đã chứng minh được ΔMAB = ΔMAC.

Để chứng minh AM là tia phân giác của góc BAC, ta có thể sử dụng tính chất của tam giác cân. Vì AB = AC và AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta có AM là tia phân giác của góc BAC.

Để chứng minh AM ⊥ BC, ta đã chứng minh ở trên rồi. Vì AM là đường trung trực của đoạn thẳng BC, nên ta có AM ⊥ BC.

Ta có \(7a-b+4c=0\Leftrightarrow b=7a+4c\)

Mà \(P\left(2\right)P\left(-1\right)\) 

\(=\left(4a+2b+c\right)\left(a-b+c\right)\)

\(=\left(4a+2\left(7a+4c\right)+c\right)\left(a-\left(7a+4c\right)+c\right)\)

\(=\left(18a+9c\right)\left(-6a-3c\right)\)

\(=-27\left(2a+c\right)^2\) \(\le0\)

Vậy \(P\left(2\right).P\left(1\right)\le0\) (đpcm)

a)

Xét ΔAIB và ΔAID có:

Góc BAI= Góc DAI (gt)

AB=AD

AI chung

→ ΔAIB=ΔAID (c.g.c)

⇒ IB=ID (2 cạnh tương ứng)

b)

Vì góc AIB= góc AID (2 góc tương ứng)

sai