ĐKXĐ: x=0 hoặc x >= 1

+, Nếu x = 0 thì tm

+, Nếu x >= 1 thì :

Áp dụng bđt cosi :

Xét : \(\sqrt{x^3-x^2}\) =  \(\sqrt{x^2.\left(x-1\right)}\)< = \(\frac{1}{2}.\left(x^2+x-1\right)\)

         \(\sqrt{x^2-x}\)=  \(\sqrt{1.\left(x^2-x\right)}\)< = \(\frac{1}{2}.\left(1+x^2-x\right)\)=   \(\frac{1}{2}.\left(x^2-x+1\right)\)

=> VP < = 1/2.(x^2+x-1+x^2-x+1) = x^2

Dấu "=" xảy ra <=> x^2 = x-1 và 1 = x^2 - x => ko tồn tại x

=> pt vô nghiệm

Vậy pt có nghiệm duy nhất x = 0

\(\hept{\begin{cases}2x=\sqrt{y+3}\left(1\right)\\2y=\sqrt{z+3}\left(2\right)\\2z=\sqrt{x+3}\left(3\right)\end{cases}}\)(*)

Do \(\hept{\begin{cases}\sqrt{y+3}\ge0\\\sqrt{z+3}\ge0\\\sqrt{x+3}\ge0\end{cases}}\Rightarrow\hept{\begin{cases}2x\ge0\\2y\ge0\\2z\ge0\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge0\\y\ge0\\z\ge0\end{cases}}}\)

Do 2 vế của các phương trình (1)(2)(3) không âm, bình phương 2 vế của mỗi phương trình ta được hệ phương trình:

\(\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=z+3\\\left(2z\right)^2=x+3\end{cases}}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2+\left(2z\right)^2=x+y+z+9\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left(2x\right)^2+\left(2y\right)^2+\left(2z\right)^2-x-y-z-9=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left[\left(2x\right)^2-2.2x.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right]+\left[\left(2y\right)^2-2.2y.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right]+\left[\left(2z\right)^2-2.2z.\frac{1}{4}+\frac{1}{16}\right]+\frac{141}{16}=0\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(2x\right)^2=y+3\\\left(2y\right)^2=y+3\\\left(2x+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2z+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{141}{16}=0\left(4\right)\end{cases}}\)

Do \(\left(2x+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2y+\frac{1}{4}\right)^2+\left(2z+\frac{1}{4}\right)^2+\frac{141}{16}>0\)

nên phương trình (4) vô nghiệm

=> Phương trình (*) vô nghiệm

bạn trên giải sai rồi 

vào link này tham khảo :  https://diendantoanhoc.net/topic/134969-tìm-tất-cả-các-cặp-số-nguyên-dương-a-và-b-sao-cho-fraca2-2ab2-là-số-nguyên/

bài này bn dùng côsi ngược dấu nhé

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(\frac{x+1}{1+y^2}=x+1-\frac{y^2\left(x+1\right)}{y^2+1}\ge x+1-\frac{y\left(x+1\right)}{2}=x+1-\frac{xy+y}{2}\)

TƯơng tự cho 2 BĐT còn lại rồi coojgn theo vế:

\(Q\ge x+y+z+3-\frac{xy+yz+xz+x+y+z}{2}\)

\(\ge6-\frac{\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}+3}{2}\ge3\)

"=" <=> x=y=z=1