a) 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x 2 x ... x 99 x 99 x 99

= 1³ x 2³ x ..... x 99³

= (1 x 2 x ... x 99)³

= 99!³

b)2000 : 5 : 5 : 5 : 4 : 4 : 4 : 3 : 3 : 3 : 2 : 2 : 2

=2000 : 5 : 5 : 5 + 2000 : 4 : 4 : 4 + 2000 : 3 : 3 : 3 + 2000 : 2 : 2 : 2

=2000 : (5 . 3 + 4 . 3 + 3 . 3 + 2 . 3)

=2000 : 42

=2000 : 40 + 2000 : 2

=50 + 1000

=1050

ko

hi hi k bt

- hoa bưởi ( có vị hơi chua, nhưng cũng có vị ngọt tự nhiên)

Ta có  \(\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\a,b,c>0\end{cases}\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b+c=3\\a,b,c\ge1\end{cases}}}\)

Vì \(a,b,c\ge1\)

\(\Rightarrow a+b+c\le a^2+b^2+c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c}\left(1\right)\)

Tương tự 

\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{b^2+c^2+a}\left(2\right)\)

\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{c^2+b^2+a}\left(3\right)\)

Từ \(\left(1\right);\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c}+\frac{1}{b^2+c^2+a}+\frac{1}{c^2+a^2+b}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{3}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c}+\frac{1}{b^2+c^2+a}+\frac{1}{c^2+a^2+b}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)

Vậy Max S₁ = 3/3 = 1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\) (4)

Vì \(a,b,c\ge1\)

\(\Rightarrow a+b+c\le a^2+b+c\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b+c}\left(5\right)\)

Tương tự 

\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{b^2+c+a}\left(6\right)\)

\(\frac{1}{a+b+c}\ge\frac{1}{c^2+b+a}\left(7\right)\)

Từ \(\left(5\right);\left(6\right);\left(7\right)\Rightarrow\frac{3}{a+b+c}\ge\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\)

\(\frac{3}{3}\ge\frac{1}{a^2+b+c}+\frac{1}{b^2+c+a}+\frac{1}{c^2+a+b}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\)

Vậy Max S₂ = 3/3 = 1 \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=1\\b=1\\c=1\end{cases}}\) (8)

Từ (4); (8) => GTLN S₁ = GTLN S₂  (đpcm)

1. We were disappointed by the movie.

2. The money was returned by her last night.

3. The course was attended by the student.

4. This class is taught by Mr. Jones.

5. The mail is delivered by him every day.

6. That book was taken from the desk by her.

7. That house was destroyed by the fire.

8. The cake will be eaten by her.

9. A cake is being eaten by them.

10. English is spoken by English people.

11. Glasses are worn.

12. Whisky is drunk by the children.

13. A cat and a dog are kept as pets by the children.

14. Eggs aren't laid by the rooster.

15. The wool is given by the sheep.

16. Dinner wasn't served by my mother.

17. Hats and coats were left here.

18. The meeting can't be held in that room.

19. The bill has to be paid by him.

20. For the time being, that group is being taught by Alice.

21. The report has been finished by her.

Câu 1: 

Đặt phương trình là (1)

ĐK: \(3x-16y-24\ge0\)

\(3x-16y-24=\sqrt{9x^2+16x+32}\Leftrightarrow\left(3x-16y-24\right)^2=9x^2+16x+32\)

\(\Leftrightarrow9\left(3x-16y-24\right)^2=9\left(9x^2+16x+32\right)\)\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2=81x^2+144x+288\)

Với x, y nguyên thì (3y+5) là ước của (-7) và chia cho 3 dư 2

=> (3y+5)=-1 hoặc (3y+5)=-7

+ TH1: \(\left(3y+5\right)=-1\Leftrightarrow y=-2\Rightarrow x=-1\)

+ TH2: \(\left(3y+5\right)=-7\Leftrightarrow y=-4\Rightarrow x=-7\)

Vậy các cặp nghiệm nguyên của (x;y) là: (-1;-2); (-7;-4)

\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2=\left(9x+8\right)^2+224\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72\right)^2-\left(9x+8\right)^2=224\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-48y-72+9x-8\right)\left(9x-48y-72-9x-8\right)=224\)

\(\Leftrightarrow\left(18x-48y-64\right)\left(-48y-80\right)=224\)

\(\Leftrightarrow-32\left(9x-24y-32\right)\left(3y+5\right)=224\)

\(\Leftrightarrow\left(9x-24y-32\right)\left(3y+5\right)=-7\)

giả sử a là nghiệm chung của 2 phương trình

\(x^2+\text{ax}+bc=0\left(1\right)\) và \(x^2+bx+ca=0\left(2\right)\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}a^2+a\alpha+bc=0\\a^2+b\alpha+ca=0\end{cases}}\)

\(\Rightarrow\alpha\left(a-b\right)+c\left(b-a\right)=0\Rightarrow\left(a-c\right)\left(a-b\right)=0\Rightarrow\alpha=c\ne0\)

Thay \(\alpha=c\)vào (1) ta có: \(c^2+ac+bc=0\Rightarrow c\left(a+b+c\right)=0\Rightarrow a+b+c=0\)

Mặt khác, theo định lý Viet phương trình(1)  còn có nghiệm nữa là b, phương trình(2) còn có nghiệm nữa là a. Theo định lý Viet đảo, a và b là hai nghiệm của phương trình \(x^2-\left(a+b\right)x+ab=0\Leftrightarrow x^2+cx+ab=0\left(\text{đ}pcm\right)\)

bà ăn bún lòng

bà ăn xôi

Sử dụng bđt Svacxo ta có : \(\frac{a^2}{b-1}+\frac{b^2}{a-1}\ge\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\)

Ta có bđt phụ sau : \(x^2\ge8\left(x-2\right)\)biến đổi tương đương \(\left(x-4\right)^2\ge0\)*đúng*

Khi đó : \(\left(a+b\right)^2\ge8\left(a+b-2\right)< =>\frac{\left(a+b\right)^2}{a+b-2}\ge8\)Hay \(P\ge8\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=2\)

Vậy GTNN của P = 8 đạt được khi a = b = 2

\(2a^2+b^2+c^2\ge2a\left(b+c\right)\)

\(a^2+a^2+b^2+c^2\ge2ab+2ac\)

\(a^2+2ab+b^2+a^2+2ac+c^2\ge0\)

\(\left(a+b\right)^2+\left(a+c\right)^2\ge0\forall a,b,c\)

\(\Rightarrowđpcm\)

a^2 + a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2a(b+c) 

Áp dụng bất đt cauchy cho hai số không âm a^2 và b^2 

a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng 2 căn ( a^2 b^2 ) 

a^2 + b^2 lớn hơn hoặc bằng 2ab ( 1 )

Áp dụng bất đẳng thức cauchy cho hai số không âm a^2 và c^2 

a^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2 căn ( a^2 c^2 ) 

a^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2ac ( 2 ) 

( 1 ) và ( 2 ) 

Suy ra a^2 + b^2 + a^2 + c^2 lớn hoăn hoặc bằng 2ab + 2ac 

2a^2 + b^2 + c^2 lớn hơn hoặc bằng 2a(b+c) ( đpcm ) 

ăn đầu buồi nhá ăn cứt