Sau chín tháng mười ngày mang nặng đẻ đau, giây phút được nhìn đứa con bé bỏng cất tiếng khóc chào đời là niềm hạnh phúc lớn lao nhất của người mẹ. Mẹ hi sinh hạnh phúc, tuổi xuân và cả cuộc đời chỉ mong được đổi lấy sự trưởng thành, nên người của con. Mẹ nuôi nấng, chăm sóc con bằng tất cả tình yêu thương, dành cho con những gì tốt đẹp nhất. Mẹ luôn là người bên cạnh ta, cùng ta chia sẻ những buồn vui. Lúc ta gặp khó khăn thử thách trên con đường đời đầy chông gai chỉ có mẹ là người luôn gần bên dìu dắt ta đi qua những chông gai đó. Có thể nói mẹ là người đã hi sinh thầm lặng suốt cả cuộc đời vì con.

Con từng bị đeo bám bởi tâm lý hổ thẹn, mặc cảm vì mẹ là một người nông dân nghèo khó, quanh năm chân lấm tay bùn trong khi mẹ của các bạn con người thì là giáo viên, người là kế toán, văn thư, thậm chí có người còn là giám đốc một cơ quan danh tiếng.Mỗi lần nghe bạn bè tự hào, hãnh diện khoe về mẹ mình con chỉ im lặng nuốt những tủi hờn vào trong. Con thầm trách mẹ sao không là một công chức nhà nước để con được mở mày mở mặt với đám bạn đồng trang lứa. Điều làm con xấu hổ nhất chính là bàn tay sần sùi, thô ráp, móng lúc nào cũng thâm đen vì quanh năm dầm bùn đất, lại có một ngón bị liệt của mẹ. Còn nhớ, có lần mẹ đến trường đón con, vừa thấy bóng con bước ra, mẹ tươi cười tiến lại, trìu mến khoác tay lên vai liền bị con cau mặt gạt ra rồi lảng mau đi chỗ khác vì sợ chúng bạn chê cười…Hiểu rõ tâm tư của con, mẹ không trách mắng mà tỏ ra đồng cảm. Rất nhiều lần mẹ nhẹ nhàng tâm sự với con rằng ngày bé mẹ cũng rất tự ti khi bạn bè chê bai, cười nhạo đôi bàn tay xấu xí bằng biệt danh “búp chuối”. Nhưng sau những trải nghiệm, thăng trầm mẹ đã vững vàng lên, thậm chí mẹ còn tự hào vì tay mẹ không đẹp nhưng chưa từng làm điều xấu, gieo cái ác mà cần mẫn lao động chân chính kiếm tiền nuôi 4 đứa con học giỏi, nên người. 

💘 💘 💘 💘 💘 💘 💜 💜 💜 💜 💜 🗿 🗿 🗡️

👨‍👨‍👦 💑 👨‍👨‍👧‍👦 👩‍❤️‍💋‍👩 👩‍❤️‍💋‍👩 👩‍❤️‍💋‍👩 💑 💑 💑 💑 💑 👩‍❤️‍💋‍👩 🐜 🐜 🐉 🐉 🐉 🐉 🐉

😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎 😎

\(\frac{2}{3.5}+\frac{2}{5.7}+...+\frac{2}{17.19}\)

= \(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+...+\frac{1}{17}-\frac{1}{19}\)

= \(\frac{1}{3}-\frac{1}{19}\)

= \(\frac{16}{57}\)

\(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\ge\frac{2}{ab}\)

\(\Leftrightarrow\frac{1}{a^2}-\frac{2}{ab}+\frac{1}{b^2}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow Q.E.D\)

Dấu "=" xảy ra khi a=b

\(gt\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}+\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{zx}=6\)

Đặt \(\frac{1}{x}=a,\frac{1}{y}=b,\frac{1}{z}=c\)thì \(P=a^2+b^2+c^2\)và \(a+b+c+ab+bc+ca=6\)

Giải:

Ta có: \(x^2+1\ge2\sqrt{x^2\cdot1}=2x\)

Tương tự rồi cộng theo vế ta được: \(x^2+y^2+z^2+3\ge2\left(x+y+z\right)\)(1) 

Lại có: \(x^2+y^2+z^2\ge xy+yz+zx\Leftrightarrow2\left(x^2+y^2+z^2\right)\ge2\left(xy+yz+zx\right)\)(2) 

Cộng (1), (2) theo vế ta được:

\(3P+3\ge2\left(x+y+z+xy+yz+zx\right)=2\cdot6=12\)

\(\Rightarrow3P\ge9\Leftrightarrow P\ge3\)

Min_P = 3 khi a = b = c = 1 hay x = y = z = 1

Ta có điểm C nằm trên đường tròn (AB) nên ^ACB = 90⁰ => BC vuông góc AE

Xét \(\Delta\)BAE: ^ABE = 90⁰, BC vuông góc AE (cmt) => AB² = AC.AE (Hệ thức lượng trong tam giác vuông)

Tương tự AB² = AD.AF. Do đó AC.AE = AD.AF. Từ đây, tứ giác ECDF nội tiếp.

Xét \(\Delta\)ABF: O là trung điểm AB; H là trung điểm BF => OH là đường trung bình trong \(\Delta\)ABF => OH // AF

Lại có CD là đường kính của (O), A thuộc (O) nên ^CAD = 90⁰ => AE vuông góc AF

Do vậy OH vuông góc AE. Kết hợp với AO vuông góc HE (tại B) suy ra O là trực tâm \(\Delta\)AEH

=> EO vuông góc AH => ^AKE = ^ABE = 90⁰ => A,K,B,E cùng thuộc đường tròn (AE)

Ta thấy AB,CD,KE tại O. Khi đó, áp dụng hệ thức lượng đường tròn: OE.OK = OA.OB = OC.OD

=> C,K,D,E cùng thuộc 1 đường tròn hay K thuộc đường tròn (DCE)

Mà tứ giác ECDF nội tiếp (cmt) nên K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF (đpcm).

Bài Toán trên có các câu hỏi a, b, c  thứ tự  để hướng dẫn làm bài

I)Chứng minh tứ giác ECDF nội tiếp

+) ACBD là hình chữ nhật  ( tự chứng minh)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{AEB}\)( cùng phụ góc CBE)

=> \(\widehat{ADC}=\widehat{AEB}=\widehat{CEF}\)

=> Tứ giác ECDF nội tiếp

II) Chứng minh Tứ giác KDBO  nội tiếp

Xét \(\Delta ABE\)và \(\Delta FBA\)

Hai tam giác trên đồng dạng ( tự chứng minh)

=> \(\frac{AB}{FB}=\frac{BE}{BA}\Leftrightarrow\frac{2.OB}{2.BH}=\frac{BE}{BA}\Leftrightarrow\frac{OB}{BH}=\frac{BE}{BA}\)(1)

Mặt khác \(\widehat{OBE}=\widehat{HBA}=90^o\)(2)

(1), (2) => \(\Delta OBE~\Delta HBA\)

=> \(\widehat{BEO}=\widehat{BAH}=\widehat{OAK}\)

=> Tứ giác BEAK nội tiếp 

=> \(\widehat{AKO}=\widehat{OBE}=90^o\)

=> \(\widehat{OKH}=90^o\)(1)

Xét tam giác BDF vuông tại D , DH là đường trung tuyến

=> DH=HB

=> \(\widehat{HDB}=\widehat{HBD}=\widehat{BCD}=\widehat{ADC}\)

=> \(\widehat{ODH}=\widehat{ODB}+\widehat{HDB}=\widehat{ODB}+\widehat{ADO}=\widehat{ADB}=90^o\)(2)

Ta lại có: \(\widehat{OBH}=90^o\)(3)

Từ (1), (2), (3) 

=> DKOBH cùng thuộc đường tròn đường kính OH

=> DKOB nội tiếp (4)

III) Chứng minh tứ giác DKCE nội tiếp 

Từ (4)  => \(\widehat{DKO}+\widehat{DBO}=180^o\)

Mặt khác : \(\widehat{DBO}=\widehat{DCA}\)và \(\widehat{DCA}+\widehat{DCE}=180^o\)

Từ 3 điều trên => \(\widehat{DKO}=\widehat{DCE}=\widehat{OCE}\)

=> Tứ giác DKCE nội tiếp 

Từ (I) và (III)

=> D, K, C, E , F cùng thuộc một đường tròn

=> K thuộc đường tròn ngoại tiếp tứ giác ECDF

Ta có \(x+13=100:10\)

           \(=x+13=10\)\(=x=10-13\)

            \(=>x=-3\)

Từ cách giải trên ta suy ra rằng kết quả của biểu thức là -3 mà điều kiện x lại không thể có kết quả lớn hơn 1 nên ta có đề bài sai.

P/S: Mọi người giúp mình lên SP nha, vì mk bị OLM trừ 40 SP nên mọi người giúp mình nha. Chúc mọi người học tốt !!!

Theo bài ra ta có :

x + 13 = 100 : 10 (đk x > 1)

=> x + 13 = 10

=> x        = 10 - 13

Lại có : vì 10 < 13 => x = 10 - 13 < 0 chính vì thế nên x = 10 - 13 < 1

=> x < 1 

=> không thỏa mãn điều kiện của đề bài ( x > 1) 

=> x + 13 = 100 : 10 là biểu thức sai

Câu 1 bạn dùng chia hết cho 13

Câu 2 bạn cộng cả 2 vế với z^4 rồi dùng chia 8

Câu 3 bạn đặt a^4n là x thì x sẽ chia 5 dư 1 và chia hết cho 4 hoăc chia 4 dư 1

Khi đó ta có x^2+3x-4=(x-1)(x+4)

đến đây thì dễ rồi

Câu 4 bạn xét p=3 p chia 3 dư 1 p chia 3 dư 2 là ra

Câu 6 bạn phân tích biểu thức của đề thành nhân tử có nhân tử x-2

Câu 5 mình nghĩ là kẹp giữa nhưng chưa ra

Cảm ơn bạn Ninh Đức Huy.

\(x^2-2⋮xy+2\)<=> \(y\left(x^2-2\right)⋮xy+2\)

<=> x(xy+2)-2y-2x\(⋮\)xy +2

<=> 2(x+y)\(⋮\)xy+2

=> 2(x+y)\(\ge\)xy+2

=> y(2-x)\(\ge\)2-2x

Xét x=1 rồi tìm y 

Xét x=2 => KTM

Xét x≥2 ta có \(y\le\frac{2x-2}{x-2}=\frac{2\left(x-2\right)+2}{x-2}=2+\frac{2}{x-2}\le4\)=>\(1\le y\le4\)

Xét các trường hợp của y để tìm x

Hơi nhiều trường hợp nhỉ =))

1)1) Do xyxy bình đẳng nên có thể giả sử xx ≤≤ yy

Từ x+y+1⋮xyx+y+1⋮xy và x+y+1,xy∈Nx+y+1,xy∈N

⇒x+y+1≥xy⇒x+y+1≥xy

⇔xy−x−y≤1⇔xy-x-y≤1

⇔xy−x−y+1≤2⇔xy-x-y+1≤2

⇔x(y−1)−(y−1)≤2⇔x(y-1)-(y-1)≤2

⇔(x−1)(y−1)≤2      (1)⇔(x-1)(y-1)≤2      (1)

Nên x≥3⇒y≥3⇒x−1≥2;y−1≥2x≥3⇒y≥3⇒x-1≥2;y-1≥2

                   ⇒(x−1)(y−1)≥4(mt)⇒(x-1)(y-1)≥4(mt)

Vậy x<3x<3, mà x∈N⋅⇒x∈{1;2}x∈N⋅⇒x∈{1;2}

+)x=1⇒y+2⋮y⇔2⋮y⇒+)x=1⇒y+2⋮y⇔2⋮y⇒ [y=1y=2[y=1y=2

+)x=2⇒y+3⋮2y⇒y+3⋮y+)x=2⇒y+3⋮2y⇒y+3⋮y

                                           ⇔3⋮y⇒y≥2⇒y=3⇔3⋮y⇒y≥2⇒y=3(t/m)(t/m)

Vậy (x;y)∈{(1;1);(1;2);(2;1);(2;3);(3;2)}(x;y)∈{(1;1);(1;2);(2;1);(2;3);(3;2)}

2)2x+y−1⋮xy (1)2)2x+y-1⋮xy (1)

Do x,yx,y là số nguyên dương ⇒2x+y−1,xy∈N⋅⇒2x+y-1,xy∈N⋅

Từ (1)⇒2x+y−1≥xy(1)⇒2x+y-1≥xy

         ⇔xy−2xy≤−1⇔xy-2xy≤-1

         ⇔x(y−2)+y+2≤1⇔x(y-2)+y+2≤1

         ⇔x(y−2)−(y−2)≤1⇔x(y-2)-(y-2)≤1

         ⇔(x−1)(y−2)≤1 (2)⇔(x-1)(y-2)≤1 (2)

+)+) Xét x=1⇒2+y−1⋮yx=1⇒2+y-1⋮y

                    ⇔y+1⋮y⇔1⋮y⇒y=1⇔y+1⋮y⇔1⋮y⇒y=1

+)+) Xét x=2⇒y+3⋮2yx=2⇒y+3⋮2y

                      ⇒y+3⋮y⇔3⋮y⇒y+3⋮y⇔3⋮y

                      ⇒⇒ [y=1(t/m)y=3(t/m)[y=1(t/m)y=3(t/m)

+)+) Xét x≥3⇒x−1≥2x≥3⇒x-1≥2

         Nếu y≥3⇒y−2≥1y≥3⇒y-2≥1

                           ⇒(x−1)(y−2)≥2⇒(x-1)(y-2)≥2 mt với (2)(2)

Suy ra y<3=>y=1y<3=>y=1 hay y=2y=2

+)y=1+)y=1 ta có:

                       2x⋮x2x⋮x luôn đúng

+)y=2⇒2x+1⋮2+)y=2⇒2x+1⋮2

            ⇔1⋮2x⇒1≥2x⇔1⋮2x⇒1≥2x Vô lý

Vậy (x,y)∈{(1;1);(2;3),xy∈N⋅}