\(\Delta'=\left(m-1\right)^2+m^3-\left(m+1\right)^2=m^3-4m\ge0\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\\-2\le m\le0\end{matrix}\right.\)

Theo hệ thức Viet:  \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-m^3+\left(m+1\right)^2\end{matrix}\right.\)

Do \(x_1+x_2\le4\Rightarrow m-1\le2\Rightarrow m\le3\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}2\le m\le3\\-2\le m\le0\end{matrix}\right.\)

\(P=x_1^3+x_2^3+3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)+8x_1x_2\)

\(=\left(x_1+x_2\right)^3+8x_1x_2\)

\(=8\left(m-1\right)^3+8\left[-m^3+\left(m+1\right)^2\right]\)

\(=8\left(5m-2m^2\right)\)

\(P=8\left(5m-2m^2-2+2\right)=16-8\left(m-2\right)\left(2m-1\right)\le16\)

\(P_{max}=16\) khi \(m=2\)

\(P=8\left(5m-2m^2+18-18\right)=8\left(9-2m\right)\left(m+2\right)-144\ge-144\)

\(P_{min}=-144\) khi \(m=-2\)

\(VT=\dfrac{a+b}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{b+c}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{c+a}{2\sqrt[3]{abc}}+\dfrac{8abc}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}\ge4\) (AM-GM 4 số hạng)

2.

\(x^2+4x-5\ge0\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+5\right)\ge0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x\ge1\\x\le-5\end{matrix}\right.\)

3.

a. Phương trình tham số của đường thẳng qua M và có vtcp \(\overrightarrow{u}=\left(4;-2\right)\) có dạng:

\(\left\{{}\begin{matrix}x=-1+4t\\y=1-2t\end{matrix}\right.\)

b.

Áp dụng công thức khoảng cách:

\(d\left(M;\Delta\right)=\dfrac{\left|3.\left(-1\right)-4.1-3\right|}{\sqrt{3^2+\left(-4\right)^2}}=2\)

c.

Đường thẳng \(\Delta\) nhận \(\left(3;-4\right)\) là 1 vtpt nên đường thẳng vuông góc \(\Delta\) nhận \(\left(4;3\right)\) là 1 vtpt

Phương trình đường thẳng qua M và vuông góc \(\Delta\) là:

\(4\left(x+1\right)+3\left(y-1\right)=0\Leftrightarrow4x+3y+1=0\)

4.

Gọi \(C\left(x;y\right)\) , do C thuộc d nên: \(x-2y+8=0\Rightarrow x=2y-8\)

\(\Rightarrow C\left(2y-8;y\right)\)

Mà C có hoành độ dương \(\Rightarrow2y-8>0\Rightarrow y>4\)

\(\overrightarrow{AB}=\left(3;-1\right)\) \(\Rightarrow AB=\sqrt{10}\)

Đường thẳng AB nhận (1;3) là 1 vtpt và đi qua A nên có pt:

\(1\left(x-2\right)+3\left(y-2\right)=0\Leftrightarrow x+3y-8=0\)

Áp dụng công thức khoảng cách:

\(d\left(C;AB\right)=\dfrac{\left|2y-8+3y-8\right|}{\sqrt{1^2+3^2}}=\dfrac{\left|5y-16\right|}{\sqrt{10}}\)

Ta có:

\(S_{ABC}=\dfrac{1}{2}d\left(C;AB\right).AB=\dfrac{1}{2}.\dfrac{\left|5y-16\right|}{\sqrt{10}}.\sqrt{10}=\dfrac{\left|5y-16\right|}{2}\)

\(\Rightarrow\dfrac{\left|5y-16\right|}{2}=17\Rightarrow\left|5y-16\right|=34\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}5y-16=34\\5y-16=-34\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}y=10\\y=-\dfrac{18}{5}\left(loại\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow C\left(12;10\right)\)

- Với \(m=1\) BPT trở thành \(1\le0\) (vô nghiệm) thỏa mãn

- Với \(m\ne1\) BPT đã cho vô nghiệm khi \(\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+1>0\) nghiệm đúng với mọi x

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m-1>0\\\Delta'=\left(m-1\right)^2-\left(m-1\right)< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>1\\1< m< 2\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow1< m< 2\)

Kết hợp lại ta được: \(1\le m< 2\)

- Với $m=1$ BPT trở thành $1\le 0$ (vô nghiệm) thỏa mãn

- Với $m\ne 1$ BPT đã cho vô nghiệm khi $\left(m-1\right)x^2+2\left(m-1\right)x+1>0$ nghiệm đúng với mọi x

$\iff \{\begin{array}{c}m-1>0\\ {\Delta }^{\prime }={\left(m-1\right)}^2-\left(m-1\right)<0\end{array}$

$\iff \{\begin{array}{c}m>1\\ 1<m<2\end{array}$ $\Rightarrow 1<m<2$

Kết hợp lại ta được: $1\le m<2$