Ta chứng minh bằng phản chứng

Giả sử n+1 và 3n+4 có UCLN là k> 1 (k là số tự nhiên)

Khi đó : n+1 = a.k ( Với a là số tự nhiên khác 0)

           3n+4 = b.k ( Với b là số tự nhiên khác 0)

Ta có: b.k= 3n+4 = 3n+3+1 = 3(n+1)+1 = 3.a.k +1 (1)

Vế trái của (1) là một số chia hết cho k , Vế phải của (1) không chia hết cho k. (Mâu thuẫn)

Vậy n+1 và 3n+4 nguyên tố cùng nhau. (Đcpcm)

Lời giải:

Đặt $d=ƯC(n+3, 2n+5)$

$\Rightarrow n+3\vdots d; 2n+5\vdots d$

$\Rightarrow 2(n+3)-(2n+5)\vdots d$

$\Rightarrow 1\vdots d\Rightarrow d=1$

Vậy $n+3, 2n+5$ có ước chung là $d=1$

Do tích là 1190 nên có 1 số tận cùng bằng 5

Vì 30 x 30 = 900 < 1190 < 40 x 40 = 1600

Vậy có một số là 35

Xét 35 x 36 = 1260 (loại)

Xét 34 x 35 = 1190 thỏa mãn đầu bài

Vậy 2 số đó là 34 và 35

  Số các số hạng của A là (98 - 10) : 2 + 1 =  45

Tổng A = 45.(98 +10) : 2 = 2430

a bang 2430

Gọi số thứ 3 là a

Số thứ hai là: a x 3 + 1

Số thứ nhất là: (a x 3 + 1) x 3 + 1

Theo đầu bài ta có: a + a x 3 + 1 + (a x 3 + 1) x 3 + 1 = 122

13 x a + 5 = 122

13 x a = 117, a = 9

Số thứ nhất là: (9 x 3 + 1) x 3 + 1 = 85

Tổng số thứ nhất và số thứ ba là: 85 + 9 = 94

dap an la 94

A = 3ⁿ + 6 = 3(3^n-1 + 2)

Nếu n = 0, A = 3(1/3 + 2) = 7 thỏa mãn

Nếu n>0, A là hợp số

Vậy chỉ có n = 0 thỏa mãn đầu bài

ta có  1008^1009 =  ( 1008^4 ) ^252 . 8^1     mà (1008^4 )^252 có chữ số tận cùng =6

do đó  6. 8 =48 => 1008^1009 có chữ số tận cùng bằng 8

ta có 199^20 < 200^20 = 2^20 x 10^40

2003^15 >2000^15 = 2^15 x 10^45 mặt khác để thấy được 2^20 x 10^40<2^15 x 10^45

suy ra: 2003^15 > 199^20