\(\left\{{}\begin{matrix}x+y=52\\4x+5y=233\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x+4y=208\\4x+5y=233\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}4x-5y=208-233\\4x+5y=233\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}-y=25\\4x=233-5y\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=25\\4x=233-5.25\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=25\\4x=108\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}y=25\\x=27\end{matrix}\right.\)

a) Khi \(m=1\) thì pt đã cho trở thành \(x^2-2x-10=0\) (*)

pt (*) có \(\Delta'=\left(-1\right)^2-\left(-10\right)=11>0\) 

Do đó (*) có 2 nghiệm phân biệt \(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{-\left(-1\right)+\sqrt{11}}{1}=1+\sqrt{11}\\x_2=\dfrac{-\left(-1\right)-\sqrt{11}}{1}=1-\sqrt{11}\end{matrix}\right.\)

b) Xét pt đã cho \(x^2-mx-10=0\) \(\left(a=1;b=-m;c=-10\right)\)

Nhận thấy \(ac=1\left(-10\right)=-10< 0\) nên pt đã cho luôn có 2 nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\).

Áp dụng hệ thức Vi-ét, ta có \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\dfrac{-m}{1}=m\\x_1x_2=\dfrac{-10}{1}=-10\end{matrix}\right.\)

Ta có \(x_1^2+x_2^2=29\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=29\Leftrightarrow m^2-2\left(-10\right)=29\)\(\Leftrightarrow m^2+20=29\Leftrightarrow m^2=9\Leftrightarrow m=\pm3\)

Vậy để pt đã cho có 2 nghiệm phân biệt thỏa mãn đề bài thì \(m=\pm3\)

Kẻ đường kính AD của (O). Ta thấy ngay \(AD=2R=2.12=24\left(cm\right)\)

Xét (O) có đường kính AD nên \(\widehat{ACD}\) là góc nội tiếp chắn nửa đường tròn \(\Rightarrow\widehat{ACD}=90^o\)

Lại có \(\widehat{ABC}\) và \(\widehat{ACD}\) là các góc nội tiếp cùng chắn \(\stackrel\frown{AC}\)

\(\Rightarrow\widehat{ABC}=\widehat{ACD}\) hay \(\widehat{ABH}=\widehat{ACD}\)

\(\Delta ABH\) và \(\Delta ADC\) có \(\widehat{AHB}=\widehat{ACD}\left(=90^o\right)\) và \(\widehat{ABH}=\widehat{ACD}\) (cmt)

\(\Rightarrow\Delta ABH~\Delta ABC\left(g.g\right)\)\(\Rightarrow\dfrac{AB}{AD}=\dfrac{AH}{AC}\Rightarrow AH=\dfrac{AB.AC}{AD}=\dfrac{8.15}{24}=5\left(cm\right)\)

Vậy \(AH=5cm\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}n+8=a^2\left(1\right)\\n+1=b^2\left(2\right)\end{matrix}\right.\) \(\left(a>b;a,b\inℕ^∗\right)\)

\(\left(1\right)\Leftrightarrow n=a^2-8\)

Thay vào (2), ta có \(a^2-8+1=b^2\)\(\Leftrightarrow a^2-b^2=7\)\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=7\) (4)

Vì \(a,b\inℕ^∗\) nên \(a-b< a+b\) (5)

Từ (4) và (5) \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a+b=7\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=4\\b=3\end{matrix}\right.\) (nhận)

\(\Rightarrow n+1=b^2=3^2=9\)\(\Rightarrow n=8\) (nhận)

\(\left\{{}\begin{matrix}x+my=2\\mx-2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\m\left(2-my\right)-2y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\2m-m^2y-2y=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\-\left(m^2+2\right)y=1-2m\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-my\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2-m\left(\dfrac{2m-1}{m^2+2}\right)\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{2m^2+4-2m^2+m}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{m+4}{m^2+2}\\y=\dfrac{2m-1}{m^2+2}\end{matrix}\right.\)

Để \(x\ge0\) thì \(\dfrac{m+4}{m^2+2}\ge0\)

Vì \(m^2+2>0\) \(\Rightarrow m+4\ge0\Leftrightarrow m\ge-4\) (1)

Để \(y< 0\) thì \(\dfrac{2m-1}{m^2+2}< 0\Leftrightarrow2m-1< 0\Leftrightarrow m< \dfrac{1}{2}\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow-4\le m< \dfrac{1}{2}\)

Vậy để hpt đã cho có nghiệm thỏa mãn yêu cầu đề bài thì \(-4\le m< \dfrac{1}{2}\)

Dễ thấy tứ giác BCEF nội tiếp (vì có 2 đỉnh E, F cùng nhìn đoạn BC dưới 1 góc 90^o không đổi)

\(\Rightarrow\widehat{AEF}=\widehat{ABC}\) (góc ngoài tại 1 đỉnh = góc trong ở đỉnh đối) 

hay \(\widehat{AEM}=\widehat{ABC}\) (1)

Xét (O) có \(\widehat{AEM}\) là góc có đỉnh bên trong đường tròn chắn \(\stackrel\frown{AM}\) và \(\stackrel\frown{CN}\) \(\Rightarrow\widehat{AEM}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{CN}}{2}\) (2)

Lại có \(\widehat{ABC}\) là góc nội tiếp chắn \(\stackrel\frown{AC}\) \(\Rightarrow\widehat{ABC}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AC}}{2}\)\(=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{CN}}{2}\) (3)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\dfrac{sđ\stackrel\frown{AM}+sđ\stackrel\frown{CN}}{2}=\dfrac{sđ\stackrel\frown{AN}+sđ\stackrel\frown{CN}}{2}\Rightarrow\stackrel\frown{AM}=\stackrel\frown{AN}\)\(\Rightarrow AM=AN\) (đpcm)

Lời giải:
Do có 3 số $a,b,c$ nên kiểu gì cũng tồn tại 2 số nằm cùng phía so với $2$

Giả sử 2 số đó là $a,b$. Khi đó: $(a-2)(b-2)\geq 0$

$\Leftrightarrow ab+4\geq 2(a+b)$

$\Rightarrow abc+4c\geq 2(ac+bc)$. Khi đó:
$a^2+b^2+c^2+abc+4=a^2+b^2+c^2+abc+4c+4-4c$

$\geq 2ab+c^2+2(ac+bc)+4-4c$ (AM-GM)
$=2(ab+bc+ac)+(c-2)^2\geq 2(ab+bc+ac)$ 

Ta có đpcm.

Tui ko thể thấy câu trả lời