sao bn ko ra sớm hơn nhỉ

thầy toán mới ra bài này làm bài khó cuối cùng cho lớp mik

Đặt phương trình trên là (1)

Ta thấy 120 và 18y đều chia hết cho 6. Nên \(11x⋮6\Leftrightarrow x⋮6\) (vì 11 và 6 là hai số nguyên tố cùng nhau)

Đặt \(x=6t\left(t\inℤ\right)\).Thay vào phương trình (1) được:

\(11.6t+6.3y=120\Leftrightarrow11t+3y=\frac{120}{6}=20\)

Suy ra \(3y=20-11t\Leftrightarrow y=\frac{20-11t}{3}\)

Vậy \(\hept{\begin{cases}x=6t\\y=\frac{20-11t}{3}\end{cases}}\) (t nguyên, sao cho \(20-11t⋮3\))

Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow2\ge\frac{2}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow1\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)

\(\Leftrightarrow1\le\sqrt{ab}\)

\(\Leftrightarrow1\le ab\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

\(P=a^3+b^3+a\left(b^2-6\right)+b\left(a^2-6\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)+ab\left(a+b\right)-6\left(a+b\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2+ab-6\right)\)

\(\Leftrightarrow P=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-6\right)\)

Ta có: \(\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow a^2+b^2\ge2ab\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b

Ta có: \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=2\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}=2\Leftrightarrow a+b=2ab\)

Áp dụng:

\(P\ge2ab\left(2ab-6\right)\ge2.1\left(2-6\right)=2.\left(-4\right)=-8\)

Dấu " = " xảy ra <=> a=b=1

Vậy \(P_{min}=-8\Leftrightarrow a=b=1\) 

Tham khảo nhé~

\(\left(\frac{1}{a}+a\right)+\left(\frac{1}{b}+b\right)-\left(a+b\right)\)

\(\ge2+2-\left(a+b\right)=4-\left(a+b\right)\)

Từ đây,ta có: \(2\ge4-\left(a+b\right)\Leftrightarrow a+b\ge2\)

(Biến đổi tương tự như kudo,ta sẽ được:)

\(P=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-6\right)\ge2\left(a^2+b^2-6\right)\)

\(=2a^2+2b^2-12=\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)-12\)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki: \(P\ge\left(1+1\right)\left(a^2+b^2\right)-12\ge\left(a+b\right)^2-12\ge4-12=-8\)

Vậy ...

Sửa lại đề là tìm Max nhé m.n

Ta có:

\(\frac{ab+bc+ca+6\left(a+b+c\right)+27}{\left(a+3\right)\left(b+3\right)\left(c+3\right)}=\frac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(b+3\right)\left(c+3\right)+\left(c+3\right)\left(a+3\right)+\left(a+3\right)\left(b+3\right)}{\left(a+3\right)\left(b+3\right)\left(c+3\right)}=\frac{3}{5}\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{a+3}+\frac{5}{b+3}+\frac{5}{c+3}=3\Leftrightarrow\frac{a-2}{a+3}+\frac{b-2}{b+3}+\frac{c-2}{c+3}=0\)

Xét biểu thức:

\(\frac{a^2-4}{a^2-9}=\frac{\left(a-2\right)\left(a+2\right)}{\left(a-3\right)\left(a+3\right)}=\frac{a-2}{a+3}.\frac{a+2}{a-3}\)

tưởng tự:

\(\frac{b^2-4}{b^2-9}=\frac{b-2}{b+3}.\frac{b+2}{b-3},\frac{c^2-4}{c^2-9}=\frac{c-2}{c+3}.\frac{c+2}{c-3}\)

\(\Rightarrow\frac{a^2-4}{a^2-9}+\frac{b^2-4}{b^2-9}+\frac{c^2-4}{c^2-9}=\frac{a-2}{a+3}.\frac{a+2}{a-3}+\frac{b-2}{b+3}.\frac{b+2}{b-3}+\frac{c-2}{c+3}.\frac{c+2}{c-3}\)

Do vai trò của a và b và c như nhau nên ta giả sử

\(a\ge b\ge c\)

Khi đó ta có:

\(\frac{a-2}{a+3}\ge\frac{b-2}{b+3}\ge\frac{c-2}{c+3},\frac{a+2}{a-3}\le\frac{b+2}{b-3}\le\frac{c+2}{c-3}\)

Áp dụng bất đẳng thức chebyshev cho 2 bộ ngược chiều trên ta có
\(\frac{a-2}{a+3}.\frac{a+3}{a-2}+\frac{b-2}{b+3}.\frac{b+2}{b-3}+\frac{c-2}{c+3}.\frac{c+2}{c-3}\le\left(\frac{a-2}{a+3}+\frac{b-2}{b+3}+\frac{c-2}{c+3}\right).\left(\frac{a+2}{a-3}+\frac{b+2}{b-3}+\frac{c+2}{c-3}\right)\)

Mà \(\frac{a-2}{a+3}+\frac{b-2}{b+3}+\frac{c-2}{c+3}=0\)

\(\Rightarrow\frac{a^2-4}{a^2-9}+\frac{b^2-4}{b^2-9}+\frac{c^2-4}{c^2-9}\le0\)

\(\Rightarrow\frac{5}{a^2-9}+\frac{5}{b^2-9}+\frac{5}{c^2-9}\le-3\Rightarrow\frac{1}{a^2-9}+\frac{1}{b^2-9}+\frac{1}{c^2-9}\le\frac{-3}{5}\)

Dấu bằng xảy ra khi a=b=c=2

Tìm max nha mấy god, e bị nhầm sory

1) Xét đường tròn (O) đường kính CD => ^CED = 90⁰ => ^DEB = 90⁰

Xét tứ giác ADEB có: ^BAD + ^ DEB = 90⁰ + 90⁰ = 180⁰ => Tứ giác ADEB nội tiếp 

Hay 4 điểm A,D,E,B cùng thuộc một đường tròn (đpcm).

2) Tứ giác ADEB nội tiếp => ^DEA = ^DBA. Tương tự: ^DEI = ^DCI

Ta có: Tứ giác ABCI nội tiếp của đường tròn đường kính BC (Do ^BAC = ^BIC = 90⁰)

=> ^DBA = ^DCI. Từ đó, suy ra: ^DEA = ^DEI => ED là phân giác ^AEI (đpcm).

3) Dễ thấy DE, CI, BA là 3 đường cao của \(\Delta\)BCD nên AB,CI,DE đồng quy (tại trực tâm \(\Delta\)BCD) (đpcm).

4) Xét \(\Delta\)ABC có vuông tại A: \(\tan\widehat{ABC}=\frac{AC}{AB}=\sqrt{2}\Rightarrow AB=\frac{AC}{\sqrt{2}}\)(theo gt)

Để EA là tiếp tuyến của (CD) thì ^AED = ^DCE. Hay ^ABD = ^ACB (Vì ^AED=^ABD)

<=> \(\Delta\)ADB ~ \(\Delta\)ABC (g,g) <=> \(AB^2=AD.AC\) <=> \(\left(\frac{AC}{\sqrt{2}}\right)^2=AD.AC\)

<=> \(AD=\frac{AC}{2}\)<=> D là trung điểm cạnh AC.

Vậy D là trung điểm AC thì EA là tiếp tuyến của (CD).

Lưu ý: Không dùng BĐT Bunhiacopxki.

\(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2y^2\ge x^2+y^2+2xy\)

\(\Leftrightarrow x^2+y^2-2xy\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2\ge0\)( luôn đúng )

Dấu " = " xảy ra <=> x=y

Áp dụng

\(x^2+y^2\ge\frac{1}{2}.\left(x+y\right)^2=\frac{1}{2}.3^2=4,5\)

Dấu " = " xảy ra <=> x=y=1,5