1) Một con ếch ở đỉnh A của lục giác đều ABCDEF. Mỗi lần ếch nhảy sang 1 trong 2 đỉnh kề với đỉnh mà nó đứng trước đó.
a) Hỏi có bao nhiêu cách để sau \(n\) lần nhảy ếch có mặt tại C?
b) Cũng câu hỏi a) với điều kiện ếch không được nhảy qua đỉnh D.
2) Cho tam giác ABC. Điểm \(P\notin\left(ABC\right)\). Trung trực của PA, PB, PC cắt nhau tạo thành tam giác...
Đọc tiếp
1) Một con ếch ở đỉnh A của lục giác đều ABCDEF. Mỗi lần ếch nhảy sang 1 trong 2 đỉnh kề với đỉnh mà nó đứng trước đó.
a) Hỏi có bao nhiêu cách để sau \(n\) lần nhảy ếch có mặt tại C?
b) Cũng câu hỏi a) với điều kiện ếch không được nhảy qua đỉnh D.
2) Cho tam giác ABC. Điểm \(P\notin\left(ABC\right)\). Trung trực của PA, PB, PC cắt nhau tạo thành tam giác XYZ. \(\left(XYZ\right)\cap\left(ABC\right)=\left\{E',F'\right\}\). Gọi D, E, F, G lần lượt là hình chiếu của P lên BC, CA, AB, E'F'. Chứng minh rằng G là tâm của \(\left(DEF\right)\).
3) Tìm tất cả các hàm \(f:ℝ\rightarrowℝ\) toàn ánh thỏa mãn \(f\left(f\left(x\right)+xy\right)=2f\left(x\right)+xf\left(y-1\right),\forall x,y\inℝ\)
4) Cho các số nguyên tố \(p_1,p_2,...,p_n\) phân biệt và các số tự nhiên \(n_1,n_2,...,n_k>1\) bất kì. CMR số cặp số \(\left(x,y\right)\) không tính thứ tự, nguyên tố cùng nhau và \(x^3+y^3=p_1^{n_1}p_2^{n_2}...p_k^{n_k}\) thì không vượt quá \(2^{k+1}\)
Để chứng minh sau hữu hạn bước sẽ không thực hiện chuyển bi được nữa, ta quan sát rằng mỗi bước chuyển bi, tổng số bi trong các ô liên tiếp tăng lên 1 đơn vị. Ban đầu có 2023 viên bi, và sau mỗi bước chuyển bi, tổng số bi trong các ô liên tiếp tăng lên 1 đơn vị. Vì số lượng ô là vô hạn, nên sau một số bước chuyển bi, tổng số bi trong các ô liên tiếp sẽ vượt quá 2023. Do đó, sau hữu hạn bước sẽ không thực hiện chuyển bi được nữa.
Để chứng minh P, Q, D, H đồng viên, ta sử dụng tính chất của tam giác nội tiếp và ngoại tiếp.
Vì tam giác ABC nội tiếp (O), ngoại tiếp (I), nên ta có:
Ta cần chứng minh P, Q, D, H đồng viên, tức là chúng nằm trên một đường thẳng.
Áp dụng định lí Pascal cho đường tròn ngoại tiếp (O) và đường tròn nội tiếp (I), ta có:
Vì P, Q, D nằm trên cùng một đường thẳng PQ, nên ta chỉ cần chứng minh H nằm trên đường thẳng PQ.
Áp dụng định lí Pascal cho đường tròn ngoại tiếp (O) và đường tròn nội tiếp (I), ta có:
Vì H, M, D nằm trên cùng một đường thẳng OI, nên H nằm trên đường thẳng PQ.
Vậy ta đã chứng minh được rằng P, Q, D, H đồng viên.