A B C H F M K N

a/ 

\(AB=\sqrt{BC^2-AC^2}=\sqrt{20^2-12^2}=16cm\)

\(\sin\widehat{B}=\dfrac{AC}{BC}=\dfrac{12}{20}=\dfrac{3}{5}\) Từ đó suy ra góc \(\widehat{B}\)

\(\widehat{C}=90^o-\widehat{B}\)

b/

Xét tg vuông AHF có

\(HF^2=HN.HA\) (trong tg vuông bình phương 1 cạnh góc vuông bằng tích giữa hình chiếu cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền với cạnh huyền) (1)

Xét tf vuông CHF có

\(HF^2=HM.HC\) (lý do như trên) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow HN.HA=HM.HC\)

c/

Xét tg vuông ABC có

\(AB^2=BH.BC\Rightarrow BH=\dfrac{AB^2}{BC}=\dfrac{16^2}{20}=12,8cm\)

Xét tg vuông ABH có

\(AH=\sqrt{AB^2-BH^2}=\sqrt{16^2-12,8^2}=9,6cm\)

Xét tg vuông AHC có

\(AH^2=AF.AC\Rightarrow AF=\dfrac{AH^2}{AC}=7,68cm\)

Xét tg vuông AHF có

\(HF=\sqrt{AH^2-AF^2}=\sqrt{9,6^2-7,68^2}=5,76cm\)

Ta dễ dàng c/m được HMFN là hình chữ nhật

=> MN=HF=5,76 cm (đường chéo hình chữ nhật)

Ta có

HC=BC-BH=20-12,8=7,2 cm

Áp dụng t/c đường phân giác có

\(\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{CK}{HC}\Rightarrow\dfrac{AK}{CK}=\dfrac{AH}{HC}=\dfrac{9,6}{7,2}=\dfrac{4}{3}\)

\(\Rightarrow AK=\dfrac{AC}{4+3}.4=6,8cm\)

=> KF=AF-AH=7,68-6,8=0,88cm

Xét tg vuông HFK có

\(HK=\sqrt{HF^2+KF^2}\) bạn tự tính nốt nhé

\(\sqrt{98};\sqrt{80};\sqrt{54};\sqrt{97};\sqrt{99}\)

\(\Rightarrow6\sqrt{3};4\sqrt{5};\sqrt{97};7\sqrt{2};3\sqrt{11}\)

\(7\sqrt{2}=\sqrt{98}\)

\(4\sqrt{5}=\sqrt{80}\)

\(6\sqrt{3}=\sqrt{108}\)

\(3\sqrt{11}=\sqrt{99}\) 

Vây \(4\sqrt{5},\sqrt{97},7\sqrt{2},3\sqrt{11},6\sqrt{3}\)
 

\(=\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{3-\sqrt{\left(2\sqrt{5}-3\right)^2}}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{6-2\sqrt{5}}}=\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{\left(\sqrt{5}-1\right)^2}}\)

\(=\dfrac{2}{\sqrt{5}-\sqrt{5}+1}=2\)

Với x > 1 

\(=x-\sqrt{\dfrac{\left(x-1\right)^2}{x-1}}=x-\sqrt{x-1}\)

Với a > b > 0 

\(=2a-\left|b-a\right|=2a-a+b=a+b\)

\(\sqrt{x-5}-\dfrac{x+14}{3+\sqrt{x-5}}=3\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-5\ge0\\\dfrac{3\sqrt{x-5}+\left(x-5\right)-\left(x+14\right)}{3+\sqrt{x-5}}=\dfrac{3\left(3+\sqrt{x-5}\right)}{3+\sqrt{x-5}}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge5\\3\sqrt{x-5}-19=9+3\sqrt{x-5}\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x\ge5\\0\sqrt{x-5}=28\left(PTVN\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow x\in\varnothing\)

- Vậy \(S=\varnothing\)

điều kiện \(x\ge5\)

Đặt \(\sqrt{x-5}=t\left(t\ge0\right)\), khi đó pt đã cho trở thành \(t-\dfrac{t^2+19}{3+t}=3\) \(\Leftrightarrow\dfrac{t^2+3t-t^2-19}{t+3}=3\) \(\Leftrightarrow\dfrac{3t-19}{t+3}=3\) \(\Rightarrow3t-19=3t+9\) \(\Leftrightarrow-19=9\) (vô lí)

Vậy pt đã cho vô nghiệm.

\(\dfrac{12}{\sqrt{7+6\sqrt{2}}}\) 

= \(\dfrac{12}{\sqrt{7+6\sqrt{2}}}\). \(\sqrt{\dfrac{6\sqrt{2}-7}{6\sqrt{2}-7}}\) 

= \(\dfrac{12\sqrt{6\sqrt{2}-7}}{\sqrt{72-49}}\)

= \(\dfrac{12\sqrt{6\sqrt{2}-7}}{\sqrt{23}}\)

= \(\dfrac{12\sqrt{23}.\sqrt{6\sqrt{2}-7}}{23}\)

Lời giải:

\(\frac{12\sqrt{6\sqrt{2}-7}}{\sqrt{(7+6\sqrt{2})(6\sqrt{2}-7)}}=\frac{12\sqrt{6\sqrt{2}-7}}{\sqrt{(6\sqrt{2})^2-7^2}}=\frac{12\sqrt{6\sqrt{2}-7}}{\sqrt{23}}=\frac{12\sqrt{23(6\sqrt{2}-7)}}{23}\)