Câu hỏi của CTV - Toán lớp 8 - Học toán với OnlineMath

Chú ý: Bổ sung điều kiện x,y,z > 0

Đặt \(x=a^3;y=b^3;z=c^3\)

Ta có x,y,z > 0 và xyz = 1 nên a,b,c > 0 và abc = 1

\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\ge\left(a+b\right)ab\)(do a + b > 0 ; \(a^2-ab+b^2\ge ab\))

\(\Rightarrow a^3+b^3+1=\ge\left(a+b\right)ab+abc=ab\left(a+b+c\right)>0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)

Tương tự ta có: \(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}\);\(\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)

Cộng từng vế của bđt trên, ta được: 

\(\text{Σ}_{cyc}\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{a+b+c}\left(\text{Σ}_{cyc}\frac{1}{ab}\right)=\frac{1}{a+b+c}\left(a+b+c\right)=1\)

Mà \(\text{Σ}_{cyc}\frac{1}{a^3+b^3+1}=\text{Σ}_{cyc}\frac{1}{x+y+1}\text{ }\)nên

\(\frac{1}{x+y+1}+\frac{1}{y+z+1}+\frac{1}{z+x+1}\le1\)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 1

Ta có : \(\frac{x}{x^2-yz+2010}+\frac{y}{y^2-xz+2010}+\frac{z}{z^2-xy+2010}\)

\(=\frac{x^2}{x^3-xyz+2010x}+\frac{y^2}{y^3-xyz+2010y}+\frac{z^2}{z^3-xyz+2010z}\)

\(\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+2010\left(x+y+z\right)}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz+3\left(xy+yz+xz\right)\left(x+y+z\right)}\)

\(=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x^3+y^3+z^3+3xy^2+3x^2y+3x^2z+3xz^2+3y^2z+3yz^2}=\frac{\left(x+y+z\right)^2}{\left(x+y+z\right)^3}=\frac{1}{x+y+z}\)

\(\hept{\begin{cases}x+y+z=2010\\\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{2010}\end{cases}\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{1}{x+y+z}}\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)+\left(\frac{1}{z}-\frac{1}{x+y+z}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy}+\frac{x+y+z-z}{z\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{1}{xy}+\frac{1}{z\left(x+y+z\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{z\left(x+y+z\right)+xy}{xyz\left(x+y+z\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{zx+zy+z^2+xy}{xyz\left(x+y+z\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{z\left(x+z\right)+y\left(z+x\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left[\frac{\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}\right]=0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(z+y\right)}{xyz\left(x+y+z\right)}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y\right)\left(x+z\right)\left(z+y\right)=0\)

<=> x+y = 0 hoặc x+z=0 hoặc z+y=0

<=> x = -y hoặc x = -z hoặc z = -y

\(\Rightarrow P=\left(x^{2007}+y^{2007}\right)\left(y^{2009}+z^{2009}\right)\left(z^{2009}+x^{2009}\right)=0\)

\(\hept{\begin{cases}x^2-y^2=1-xy\\x^2+y^2=3xy+11\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2-y^2+xy=1\\x^2+y^2-3xy=11\end{cases}}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-3xy=11x^2-11y^2+11xy\)

\(\Leftrightarrow10x^2-12y^2+14xy=0\)(1)

NX: y = 0 ko phải là nghiệm của hpt

Cùng chia cả 2 vế của (1) cho y² ta đc

\(10.\left(\frac{x}{y}\right)^2-12+\frac{14x}{y}=0\)

Đặt \(\frac{x}{y}=a\)

\(\Rightarrow pt:10a^2+14a-12=0\)

Làm nốt

I

hệ đã cho tương đương với\(\hept{\begin{cases}11\left(x^2+xy-y^2\right)=11\\x^2-3xy+y^2=11\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x^2+xy-y^2=1\\11\left(x^2+xy-y^2\right)=x^2-3xy+y^2\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}x^2+xy-y^2=1\\\left(x+2y\right)\left(5x-3y\right)=0\end{cases}}}\) (*)

Từ hệ (*) suy ra

\(\hept{\begin{cases}x^2+xy-y^2=1\\x^2+2y=0\end{cases}\left(I\right)}\)hoặc \(\hept{\begin{cases}x^2+xy-y^2=1\\\left(x+2y\right)\left(5x-3y\right)=0\end{cases}\left(II\right)}\)

Giải hệ (I) tìm được (c;y)=(2;-1);(-2;1)

Hệ (II) vô nghiệm

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y)=(2;-1);(-2;1)

giúp với

Hệ \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\left(x+3y\right)^2-6xy=10\\\left(x+3y\right)-12xy=-8\end{cases}}\)

Đặt \(\hept{\begin{cases}x+3y=a\\6xy=b\end{cases}}\)

ta đc hệ mới \(\hept{\begin{cases}a^2-b=10\\a-2b=-8\end{cases}}\)

Rút a theo b từ pt 2 rồi thế vào pt 1 tìm đc a,b, -> dễ

Anh Dương em có cách khác.

Hệ phương trình tương đương \(\hept{\begin{cases}x^2+9y^2=10\\x+8=3y\left(4x-1\right)\end{cases}}\)

+)Xét x = 1/4.Thay vào phương trình hai suy ra \(\frac{33}{4}=0\) (loại)

+)Xét x khác 1/4.Chia hai vế của phương trình cho 4x - 1. Suy ra \(3y=\frac{x+8}{4x-1}\) 

Thay vào phương trình một suy ra \(x^2+\frac{\left(x+8\right)^2}{\left(4x-1\right)^2}=10\) (1)

Dễ dàng nhận ra x = 3 là một nghiệm tức y = 1/3

Xét x khác 3:Chia hai vế của (1) cho x - 3 ta được:

\(\frac{x^2}{x-3}+\frac{\left(x+8\right)^2}{\left(4x-1\right)^2\left(x-3\right)}=\frac{10}{x-3}\)

Giải tiếp :v.Tất nhiên cách của anh Dương sẽ hay hơn,đỡ tốn thời gian hơn,cách này đọc chơi cho vui thôi ạ.