Bài 1:

Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất lần lượt là $a$ và $b$ (m). ĐK: $a> b>0$

Theo bài ra ta có:

$a+b=100:2=50$

$(a+10)(b-5)=ab$

$\Leftrightarrow -5a+10b-50=0$

$\Leftrightarrow -a+2b=10$

$\Leftrightarrow a=2b-10$

Thay vào điều kiện $a+b=50$ thì:

$2b-10+b=50$

$3b-10=50$

$3b=60$

$b=20$ (m)

$a=50-b=50-20=30$ (m)

Bài 2:

Nửa chu vi hcn: $62:2=31$ (m) 

Chiều dài hcn: $(31+7):2=19$ (m) 

Chiều rộng hcn: $(31-7):2=12$ (m)

Diện tích hcn: $19.12=228$ (m²)

a) x = 2 A = (2 - 6)/(2 + 2) = -1

b) B = 6/(x - 2) + x/(x + 2) - 8/(x² - 4)

= [6(x + 2) + x(x - 2) - 8]/[(x - 2)(x + 2)]

= (6x + 12 + x² - 2x - 8)/[(x - 2)(x + 2)]

= (x² + 4x + 4)/[(x - 2)(x + 2)]

= (x + 2)²/[(x - 2)(x + 2)]

= (x + 2)/(x - 2)

c) P = A.B

= (x - 6)/(x + 2) . (x + 2)/(x - 2)

= (x - 6)/(x - 2)

Để P = 2/3 thì

(x - 6)/(x - 2) = 2/3

3(x - 6) = 2(x - 2)

3x - 18 = 2x - 4

3x - 2x = -4 + 18

x = 14

Vậy x = 14 thì P = 2/3

\(4h25p=\dfrac{53}{12}\left(giờ\right)\)

Độ dài quãng đường từ nhà đến tỉnh là:

\(\dfrac{53}{12}\cdot14=\dfrac{371}{6}\left(km\right)\)

Gọi độ dài quãng đường từ Củ Chi đến Vũng Tàu là x(km)

(Điều kiện: x>0)

Thời gian đi là \(\dfrac{x}{40}\left(giờ\right)\)

Thời gian về là \(\dfrac{x}{40+10}=\dfrac{x}{50}\left(giờ\right)\)

Thời gian đi nhiều hơn thời gian về 27p=0,45 giờ nên ta có:

\(\dfrac{x}{40}-\dfrac{x}{50}=0,45\)

=>\(\dfrac{x}{200}=0,45\)

=>\(x=200\cdot0,45=90\left(nhận\right)\)

Vậy: Độ dài quãng đường từ Củ Chi đến Vũng Tàu là 90km

\(A-B=2.2^{n+1}=2^{n+2}\) là 1 lũy thừa của 2 nên ko chia hết cho 5

\(\Rightarrow A;B\) ko thể đồng thời chia hết cho 5

\(\Rightarrow\) Trong 2 số A, B có tối đa 1 số chia hết cho 5

Do \(16\equiv1\left(mod5\right)\) nên:

TH1: \(n=4k\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^{2n+1}=2^{8k+1}=2.\left(16\right)^{2k}\\2^{n+1}=2^{4k+1}=2.\left(16\right)^k\end{matrix}\right.\)

Do \(A=2.\left(16\right)^{2k}+2.\left(16\right)^k+1\equiv2+2+1\left(mod5\right)\equiv0\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho 5 (và hiển nhiên, theo cm ban đầu B sẽ ko chia hết cho 5)

TH2: \(n=4k+1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^{2n+1}=2^{8k+3}=8.\left(16\right)^{2k}\\2^{n+1}=2^{4k+2}=4.\left(16\right)^k\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow B=8\left(16\right)^{2k}-4.\left(16\right)^k+1\equiv8-4+1\left(mod5\right)\equiv0\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow B\) chia hết cho 5

TH3: \(n=4k+2\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^{2n+1}=2^{8k+5}=2.\left(16\right)^{2k+1}\\2^{n+1}=2^{4k+3}=8.\left(16\right)^k\end{matrix}\right.\)

\(B=2.\left(16\right)^{2k+1}-8.\left(16\right)^k+1\equiv2-8+1\left(mod5\right)\equiv0\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow B\) chia hết cho 5

TH4: \(n=4k+3\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2^{2n+1}=2^{8k+7}=8.\left(16\right)^{2k+1}\\2^{n+1}=\left(16\right)^{k+1}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow A=8.\left(16\right)^{2k+1}+\left(16\right)^{k+1}+1\equiv8+1+1\left(mod5\right)\equiv0\left(mod5\right)\)

\(\Rightarrow A\) chia hết cho 5

Vậy với mọi số tự nhiên n thì trong 2 số A và B luôn tồn tại 1 và chỉ 1 số chia hết cho 5

a, Xét \(\Delta HBA\) và \(\Delta ABC\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{BHA}=\widehat{BAC}=90^{\circ}\left(AH\bot BC;\Delta ABC\text{ vuông tại }A\right)\\\widehat{ABC}\text{ chung}\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \Delta HBA\backsim \Delta ABC(g.g)\)

b, Vì \(\Delta HBA\backsim \Delta ABC(cmt)\Rightarrow \widehat{HAB}=\widehat{ACB}\) (hai góc tương ứng)

hay \(\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\) (do \(H\in BC\)>)>

Xét \(\Delta AHB\) và \(\Delta CHA\) có: \(\left\{{}\begin{matrix}\widehat{AHB}=\widehat{CHA}=90^{\circ}\left(AH\bot BC\right)\\\widehat{HAB}=\widehat{HCA}\left(cmt\right)\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow \Delta AHB\backsim \Delta CHA(g.g)\Rightarrow \dfrac{AH}{CH}=\dfrac{HB}{HA}\) (các cạnh tương ứng)

\(\Rightarrow AH^2=HB\cdot HC\)

Hàm số bậc nhất có dạng: y = a\(x\) + b

Vì hệ số góc là - 3 nên a = -3 hàm số có dạng:

                      y = - 3\(x\) + b (d)

Vì hàm số cắt trục hoành tại đểm có hoành độ bằng 2 nên hàm số đó đi qua điểm A(2; 0).

Thay tọa độ điểm A vào phương trình đường thẳng d ta có 

                    -3.2 + b  = 0

                    -6 + b = 0

                            b = 6

Vậy hàm số có hệ số góc bằng -3 và cắt trục hoành có hoành độ bằng 2 có phương trình là:

                     y = -3\(x\) + 6

Ta có: \(A=\dfrac{3+8x}{4x^2+1}\)

Xét \(A-4=\dfrac{3+8x}{4x^2+1}-4=\dfrac{3+8x-4\left(4x^2+1\right)}{4x^2+1}\)

\(=\dfrac{-16x^2+8x-1}{4x^2+1}=\dfrac{-\left(16x^2-8x+1\right)}{4x^2+1}=\dfrac{-\left(4x-1\right)^2}{4x^2+1}\)

Ta thấy: \(\left\{{}\begin{matrix}-\left(4x-1\right)^2\le0;\forall x\\4x^2+1>0;\forall x\end{matrix}\right.\Rightarrow\dfrac{-\left(4x-1\right)^2}{4x^2+1}\le0;\forall x\)

\(\Rightarrow A-4\le0;\forall x\Rightarrow A\le4;\forall x\)

Dấu \("="\) xảy ra khi: \(4x-1=0\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}\)

Vậy \(A_{max}=4\) tại \(x=\dfrac{1}{4}\).

Ta có: \(AE=\dfrac{AB}{2}\)

\(CK=\dfrac{CD}{2}\)

mà AB=CD

nên AE=CK

Xét tứ giác AECK có

AE//CK

AE=CK

Do đó: AECK là hình bình hành

=>CE//AK