hello bạn hiến

đừng đăng linh tinh nha bạn

\(\sqrt{x^2+4x+3m+1}=x+3\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+3m+1=\left(x+3\right)^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+4x+3m+1=x^2+6x+9\)

\(\Leftrightarrow2x=3m-8\)

\(\Leftrightarrow x=\frac{3m-8}{2}\)

Với x=\(\frac{3m-8}{2}\Rightarrow\left(\frac{3m-8}{2}\right)^2+4\cdot\frac{3m-8}{2}+3m+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{9m^2-48m+64}{4}+6m-16+3m+1\ge0\)

\(\Leftrightarrow9m^2-12m+4\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(3m-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)

Dấu "=" xảy ra <=> \(3m-2=0\Leftrightarrow m=\frac{2}{3}\)

\(\Rightarrow a=2;b=3\)

\(\Rightarrow4a^2+3b^2+7=4\cdot2^2+3\cdot3^2+7=50\)

Sử dụng BĐT Cauchy-Schwarz ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{9}{a+b+c}\le\frac{3}{ab+bc+ca}+2\)

Đặt a+b+c=t ta cần chứng minh \(\frac{6}{t^2-3}+2\ge\frac{9}{t}\Leftrightarrow\left(t+3\right)\left(t-3\right)^2\ge0\)

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c=1

Ok thanks, mặc dù ngay chỗ cuối đúng thì phải là (2t+3)(t-3)² >= 0
Nhưng hiểu rồi là OK :)

ko biết

ko biết thua