Ta có \(VT=xyz\left(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\right)=3\)\(\Rightarrow xyz>0\)

Áp Dụng bđt AM-GM ta có

\(VT\ge3\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow1\ge\sqrt[3]{xyz}\Rightarrow1\ge xyz\)

\(\Rightarrow0< xyz\le1\)

Vì x,y,z nguyên => xyz=1

\(\Rightarrow VT\ge3=VP\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x^2=y^2=z^2\Rightarrow\left|x\right|=\left|y\right|=\left|z\right|\)

Từ đó tìm ra 4 nghiệm là (x,y,z)=(1,1,1);(1,−1,−1);(−1,1,−1);(−1,−1,1)

Có: \(9=\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\Rightarrow3\ge ab+bc+ca\)

Từ đây: \(D=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{c^2+3}}\le\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}\)

\(=\Sigma_{cyc}\frac{ab}{\sqrt{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}}=\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{a+c}}.\sqrt{\frac{ab}{b+c}}\le\Sigma_{cyc}\frac{1}{2}\left(\frac{ab}{a+c}+\frac{ab}{b+c}\right)\)

\(=\frac{1}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{3}{2}\)

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c = 1

Ta thấy: \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\Leftrightarrow\left(c-1\right)^2\ge4\left(c^2-7c+14\right)\Leftrightarrow3c^2-26c+55\le0\)   \(\Leftrightarrow\frac{11}{3}\le c\le5\)

\(A=a^2+b^2=\left(a+b\right)^2-2ab=\left(c-1\right)^2-2\left(c^2-7c+14\right)\)

\(=-c^2+12c-27=-\left(c-5\right)^2+2\left(c-5\right)+8^{c\le5}_{\le8}\)

Đẳng thức xảy ra \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}c=5\\a=b=2\end{cases}}\Rightarrow Min_A=8\)

Vậy ..........

(??????????)

\(Đkxđ:\hept{\begin{cases}x\ge2\\y\ge2\end{cases}}\)

Ta thấy các vế đều \(\ge0\)nên ta bình phương các vế ta được:

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y+3+2\sqrt{\left(x+5\right)\left(y-2\right)}=49\\x+y+3+2\sqrt{\left(x-2\right)\left(y+5\right)}=49\end{cases}}\)

Trừ từng vế ta được: 

\(\sqrt{\left(x+5\right)\left(y-2\right)}=\sqrt{\left(x-2\right)\left(y+5\right)}\)

\(\Leftrightarrow\left(x+5\right)\left(y-2\right)=\left(x-2\right)\left(y+5\right)\)

\(\Leftrightarrow xy+5y-2x-10=xy+5x-2y-10\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào một trong hai pt trên ta được:

\(2x+3+2\sqrt{x^2+3x-10}=49\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+3x-10}=23-x\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\le23\\x^2+3x-10=\left(23-x\right)^2\end{cases}}\Leftrightarrow x=11\)

Vậy hpt có nghiệm là: \(x=y=11\)

a) dễ thấy A,O,B,C cùng thuộc đường tròn đường kính OC 

suy ra A,C,B,O,D thuộc đường tròn đường kính OC

Ta có : \(\widehat{BED}=\widehat{ECB}+\widehat{EBC}=\widehat{BAD}+\widehat{EAB}=\widehat{DAE}\)

b) vì AC = AB nên \(\widebat{AB}=\widebat{AC}\Rightarrow\widehat{ADE}=\widehat{EDB}\)

Xét \(\Delta ADE\)và \(\Delta EDB\)có :

\(\widehat{ADE}=\widehat{EDB}\); \(\widehat{DAE}=\widehat{BED}\)

\(\Rightarrow\Delta ADE~\Delta EDB\left(g.g\right)\Rightarrow\frac{AD}{DE}=\frac{ED}{BD}\Rightarrow DE^2=AD.BD\)

ủa sao ko hiện hình lên.

\(PT\Leftrightarrow xy\left(x+y-1\right)+\left(x+y-1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x+y-1\right)\left(xy+1\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y-1=1\\xy+1=1\end{cases}hoac\hept{\begin{cases}x+y-1=-1\\xy+1=-1\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=2\\xy=0\end{cases}hoac\hept{\begin{cases}x+y=0\\xy=-2\end{cases}}}\)

Đến đây thì đơn giản rồi nhé :)))

Phương trình tương đương: \(\left(x+y\right)\left(x^2y^2+1\right)=xy+2\)

\(\Leftrightarrow x+y=\frac{xu+2}{x^2y^2+1}\)

\(\Rightarrow\left(xy+2\right)⋮\left(x^2y^2+1\right)\Rightarrow\left(x^2y^2-4\right)⋮\left(x^2y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow\left(x^2y^2+1-5\right)⋮\left(x^2y^2+1\right)\Rightarrow5⋮\left(x^2y^2+1\right)\)

\(\Rightarrow x^2y^2+1\in\left\{1;5\right\}\Rightarrow x^2y^2\in\left\{0;4\right\}\Rightarrow xy\in\left\{-2;0;2\right\}\)

• \(xy=0\Rightarrow xy=2\Rightarrow\left(x;y\right)\in\left\{\left(0;2\right);\left(2;0\right)\right\}\)
• \(xy-2\Rightarrow x+y=0\Rightarrow y=-x\Rightarrow x^2=2\left(ktm\right)\)
• \(xy=2\Rightarrow x+y=\frac{4}{5}\left(ktm\right)\)

Vậy: \(\left(x,y\right)\in\left\{\left(0;2\right);\left(2;0\right)\right\}\)

\(\hept{\begin{cases}x+\sqrt{x^2+1}=2y+1\left(1\right)\\y+\sqrt{y^2+1}=2x+1\left(2\right)\end{cases}}\)

Trừ theo vế \(\left(1\right)\)cho\(\left(2\right)\):

\(\left(x-y\right)+\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}\right)=2\left(y-x\right)\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)+\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right).\left(3+\frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}\right)=0\)

Ta có: \(\hept{\begin{cases}\sqrt{x^2+1}>|x|\ge x\\\sqrt{y^2+1}>|y|\ge y\end{cases}}\)

\(\Rightarrow-1< \frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}< 1\)

\(\Rightarrow3+\frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}>0\)

\(\Rightarrow x-y=0\)

\(\Leftrightarrow x=y\)

Thay vào: \(x+\sqrt{x^2+1}=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=x+1\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x^2+2x+1=x^2+1\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x\ge-1\\x=0\end{cases}}\)

Vậy \(x=y=0\)

(Không chắc lắm sai thì thôi nha @@)

\(\hept{\begin{cases}x+\sqrt{x^2+1}=2y+1\left(1\right)\\y+\sqrt{y^2+1}=2x+1\left(2\right)\end{cases}}\)

Lấy (1) trừ (2) ta được

\(x-y+\sqrt{x^2+1}-\sqrt{y^2+1}=-2\left(x-y\right)\)

\(\Leftrightarrow x-y+\frac{x^2-y^2}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}+2\left(x-y\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)\left(1+\frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}+2\right)=0\)

Dễ thấy \(\left(1+\frac{x+y}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{y^2+1}}+2\right)>0\)

\(\Rightarrow x=y\)

Khi đó \(\left(1\right)\Leftrightarrow x+\sqrt{x^2+1}=2x+1\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{x^2+1}=x+1\)\(\Leftrightarrow x^2+1=x^2+2x+1\Rightarrow x=1\Rightarrow y=1\)

Vậy (x,y)=(1,1)