Đặt \(t=\frac{1}{2004y}\)

Bài toán đưa về tìm x để t bé nhất 

Ta có \(t=\frac{\left(x+2004\right)^2}{2004x}=\frac{x^2+2.2004x+2004^2}{2004x}\)

\(=\frac{x}{2004}+2+\frac{2004}{x}=\frac{x^2+2004^2}{2004x}+2\)(1)

Ta thấy : Theo bất đẳng thức Côsi cho 2 số nguyên dương ta có :

\(x^2+2004^2\ge2.2004.x\)

\(\Rightarrow\frac{x^2+2004^2}{2004x}\ge2\)(2)

Dấu ''='' xảy ra khi x=2004

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow t\ge4\)

Vậy giá trị bé nhất của \(t=4\)khi \(x=2004\)

Vậy \(y_{max}=\frac{1}{2004t}=\frac{1}{8016}\)Khi \(x=2004\)

Xét \(x\ge4\)

\(BPT\Leftrightarrow x^2+x+1>x-4\)

\(\Leftrightarrow x^2+5>0\)(hiển nhiên đúng với mọi x)

Xét x<4

\(BPT\Leftrightarrow x^2+x+1>4-x\)

\(\Leftrightarrow x^2+2x-3>0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)\left(x+3\right)>0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x>1\\x< -3\end{cases}}\)

KO HIỂU ĐƯỢC KHÓ QUÁ

\(3x-x^2+1\le0\)

\(3x-x^2\le-1\)

\(x\left(3-x\right)\le-1\)

TH1 : \(x\left(3-x\right)=-1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\\left(3-x\right)=1\end{cases}}\)              \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\x=3-1=2\end{cases}}\)           ( Không thỏa mãn ) 

Hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\3-x=-1\end{cases}}\)            \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=3-\left(-1\right)=3+1=4\end{cases}}\)   ( Không thỏa mãn ) 

TH2 : \(\hept{\begin{cases}x< 0\\3-x>0\end{cases}}\)              \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 0\\x< 3\end{cases}}\)       \(\Rightarrow\text{ }x\in\varnothing\)

TH3 : \(\hept{\begin{cases}x>0\\3-x< 0\end{cases}}\)              \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x>3\end{cases}}\)           \(\Rightarrow\text{ }x>3\)

          Vậy \(3x-x^2+1\le0\) khi \(x>3\)

Bài giải

\(3x-x^2+1\le0\)

\(3x-x^2\le-1\)

\(x\left(3-x\right)\le-1\)

TH1 : \(x\left(3-x\right)=-1\)

\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\\left(3-x\right)=1\end{cases}}\)              \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=-1\\x=3-1=2\end{cases}}\)           ( Không thỏa mãn ) 

Hoặc \(\hept{\begin{cases}x=1\\3-x=-1\end{cases}}\)            \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=1\\x=3-\left(-1\right)=3+1=4\end{cases}}\)   ( Không thỏa mãn ) 

TH2 : \(\hept{\begin{cases}x< 0\\3-x>0\end{cases}}\)              \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x< 0\\x< 3\end{cases}}\)       \(\Rightarrow\text{ }x\in\varnothing\)

TH3 : \(\hept{\begin{cases}x>0\\3-x< 0\end{cases}}\)              \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}x>0\\x>3\end{cases}}\)           \(\Rightarrow\text{ }x>3\)

          Vậy \(3x-x^2+1\le0\) khi \(x>3\)