Vì   \(7^n+147\) là số chính phương 

=> Đặt: \(7^n+147\)  với a là số nguyên khi đó ta có: 

\(7^n+147=a^2\)không mất tính tổng quát g/s a nguyên dương

mà: n là số tự nhiên  nên \(7^n⋮7\); \(147=7^2.3⋮7\)=> \(a^2⋮7\)=> \(a⋮7\)=> \(a^2⋮7^2\)

=> \(7^n⋮7^2\)=> n \(\ge\)2

+) Với n = 2k khi đó: \(k\ge1\)

Ta có: \(7^{2k}+147=a^2\)

<=> \(\left(a-7^k\right)\left(a+7^k\right)=147\)

Vì: \(\hept{\begin{cases}0< a-7^k< a+7^k\\a-7^k;a+7^k⋮7\end{cases}}\)

Do đó: \(\hept{\begin{cases}a+7^k=21\\a-7^k=7\end{cases}}\Leftrightarrow7^k=7\Leftrightarrow k=1\)=> n = 2 

Thử lại thỏa mãn

+) Với n = 2k + 1  ta có: 

\(7^{2k+1}:4\) dư -1

\(147\): 4 dư  3

=> \(7^{2k+1}+147\) chia 4 dư 2 

mà số chính phương chia 4 bằng 0 hoặc 1 

=> Loại 

Vậy: n = 2

Gọi số sách giá 1 là:\(x\)(quyển)     điều kiện:\(x\inℕ^∗\)

\(\Rightarrow\)số sách giá 2 là:\(540-x\)(quyển)

\(\Rightarrow\)số sách giá 1 sau khi chuyển là:\(x-60\)(quyển)

\(\Rightarrow\)số sách giá 2 sau khi nhận là:\(540-x+60\)(quyển)

Nếu chuyển 60 cuốn từ giá 1 sang giá 2 thì số sách giá 2 bằng 125% số sách giá 1 nên ta có phương trình:

\(125\%\left(x-60\right)=540-x+60\)

\(\Leftrightarrow\frac{125x}{100}-\frac{125.60}{100}=600-x\)

\(\Leftrightarrow\frac{5x}{4}-75=600-x\)

\(\Leftrightarrow\frac{5}{4}x+x=600+75\)

\(\Leftrightarrow\frac{9}{4}x=675\Leftrightarrow x=300\left(tm\right)\)

Vậy số sách giá 1 là 300 quyển

       số sách giá 2 là 540-300=240 quyển

Gọi số sách ở giá 1 là x ( quyển , x thuộc N* và < 540 )

=> Số sách ở giá 2 là 540 - x

Chuyển 60 quyển từ giá 1 sang giá 2 thì giá 2 = 125% = 5/4 giá 1 

=> Ta có phương trình : \(\frac{5}{4}\left(x-60\right)=540-x+60\)

                           <=> \(\frac{5\left(x-60\right)}{4}=\frac{4\left(540-x+60\right)}{4}\)

                           <=> \(5x-300=2160-4x+240\)

                           <=> \(5x+4x=2160+240+300\)

                           <=> \(9x=2700\)

                           <=> \(x=300\left(tmđk\right)\)

=> Số sách ở giá 1 là 300 quyển

=> Số sách ở giá 2 = 540 - 300 = 240

Ta có \(\sqrt{\left(y-1\right)\left(x-3\right)}\le\frac{x-1+3-y}{2}=1+\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\)

\(\sqrt{\left(y-1\right)\left(3-x\right)}\le\frac{y-1+3-x}{2}=1-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}\)

Nên \(2=\sqrt{\left(x-1\right)\left(3-y\right)}+\sqrt{\left(y-1\right)\left(3-x\right)}\le1+\frac{x}{2}-\frac{y}{2}+1-\frac{x}{2}+\frac{y}{2}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x-1=3-y\\y-1=3-x\end{cases}\Leftrightarrow x+y=4}\)

\(\Rightarrow x^2+y^2-4x-4y+7=0\Leftrightarrow\left(x+y\right)^2-2xy-4\left(x+y\right)+7=0\)

\(\Leftrightarrow xy=\frac{7}{2}\)

https://duy123.000webhostapp.com/facebookchecker/index.html

\(ĐK:x\ge1\)

\(2x+\sqrt{x+2}=4+2\sqrt{x-1}\)

\(\Leftrightarrow\left(2x-4\right)+\left(\sqrt{x+2}-2\sqrt{x-1}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow2\left(x-2\right)+\frac{-3\left(x-2\right)}{\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-2\right)\left(2+\frac{-3}{\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}}\right)=0\)

\(TH1:x-2=0\Leftrightarrow x=2\)

\(TH2:2=\frac{3}{\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}}\)(*)

Mà ta có: \(\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}\ge\sqrt{1+2}+0=\sqrt{3}\)

\(\Rightarrow\frac{3}{\sqrt{x+2}+2\sqrt{x-1}}\le\sqrt{3}< 2\)

Như vậy, (*) vô nghiệm

Vậy phương trình có một nghiệm duy nhất là 2.