Em đăng đúng môn nhé.

Ta chứng minh \(\left(n,n+1\right)=1\) với mọi số tự nhiên n. Thật vậy, đặt \(\left(n,n+1\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\), khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}n⋮d\\n+1⋮d\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\left(n+1\right)-n⋮d\) \(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\). Vậy \(\left(n,n+1\right)=1\). 

Xét số tự nhiên \(k\) bất kì sao cho \(1\le k\le35\). Theo đề bài kết hợp với \(\left(n,n+1\right)=1\), dễ thấy \(\left(n,n+k\right)\ge k\). Đặt \(\left(n,n+k\right)=d'\left(d'\ge k\right)\), khi đó \(\left\{{}\begin{matrix}n⋮d'\\n+k⋮d'\end{matrix}\right.\Rightarrow\left(n+k\right)-n⋮d'\) \(\Rightarrow k⋮d'\). Nhưng do \(d'\ge k\) nên \(d'=k\). Vì \(n⋮d'\) ,suy ra \(n⋮k\) (đpcm)

b, 

Giả sử m = 0 thì đt có dạng y = -1

Quan sát hai đồ htij trên hình vẽ em sẽ thấy

parapol (p) và đt d không cắt nhau vậy việc chứng minh (p) và (d) cắt nhau tại hai điểm phân biệt với mọi m là không thể xảy ra 

Lời giải:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:

$P=\sum \frac{1}{(x^2+y^2)+(y^2+1)+2}\leq \sum \frac{1}{2xy+2y+2}$

$=\frac{1}{2}\sum \frac{1}{xy+y+1}$

$=\frac{1}{2}(\frac{1}{xy+y+1}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{1}{xz+x+1})$

$=\frac{1}{2}(\frac{z}{xyz+yz+z}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{yz}{xzyz+xyz+yz})$

$=\frac{1}{2}(\frac{z}{1+yz+z}+\frac{1}{yz+z+1}+\frac{yz}{z+1+yz})$

$=\frac{1}{2}.\frac{1+yz+z}{1+yz+z}=\frac{1}{2}$

Ta có tứ giác AMBC nội tiếp ( O ) nên $\widehat{KMB}=\widehat{ACB}$

Mặt khác $\widehat{BFC}=\widehat{BEC}={90}^0$ nên tứ giác BFEC nội tiếp suy ra $\widehat{KFB}=\widehat{BCE}$

Khi đó $\widehat{KMB}=\widehat{KFB}$ nên tứ giác KMFB nội tiếp

Dễ thấy BFEC là tứ giác nội tiếp nên $\widehat{FBC}=\widehat{FEA}\Rightarrow$ tứ giác EFCB nội tiếp

=> $\widehat{HMA}={90}^0\Rightarrow MH\perp AK$

ĐKXĐ : \(0\le x\le1\)

Đặt \(\sqrt{x}=a;\sqrt{1-x}=b\left(a;b\ge0\right)\)

Khi đó ta được a² + b² = 1 (1)

Lại có phương trình ban đầu trở thành 

\(\dfrac{2a^3}{a+b}+ab=1\) (2) 

Từ (1) ; (2) ta được \(\dfrac{2a^3}{a+b}+ab=a^2+b^2\)

\(\Leftrightarrow2a^3=\left(a+b\right).\left(a^2-ab+b^2\right)\)

\(\Leftrightarrow a^3=b^3\Leftrightarrow a=b\)

Khi đó \(\sqrt{x}=\sqrt{1-x}\Leftrightarrow x=1-x\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}\left(tm\right)\)

Vậy tập nghiệm \(S=\left\{\dfrac{1}{2}\right\}\)

ĐK: \(\left\{{}\begin{matrix}x\ne-y\\y\ge\dfrac{3}{2}\end{matrix}\right.\).

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x-y+3}{x+y}=1\\2x-\sqrt{2y-3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x-y+3}{x+y}-1=0\\2x-\sqrt{2y-3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2x-y+3}{x+y}-\dfrac{x+y}{x+y}=0\\2x-\sqrt{2y-3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}2x-y+3-x-y=0\\2x-\sqrt{2y-3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-2y+3=0\\2x-\sqrt{2y-3}=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-\left(2y-3\right)=0\\2x-\sqrt{2y-3}=0\end{matrix}\right..\)

Đặt a = x, b = \(\sqrt{2y-3}\).

Hệ phương trình trở thành: \(\left\{{}\begin{matrix}a-b^2=0\\2a-b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b^2\\2b^2-b=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b^2\\b\left(2b-1\right)=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b^2\\\left[{}\begin{matrix}b=0\\b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}a=0\\a=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}b=0\\b=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{2}\\2y-3=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{2}\\2y=\dfrac{13}{4}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=\dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\\\left[{}\begin{matrix}y=\dfrac{3}{2}\\y=\dfrac{13}{8}\end{matrix}\right.\end{matrix}\right..\)

Vậy hệ phương trình có nghiệm (x;y) \(\in\) \(\left\{\left(0;\dfrac{3}{2}\right),\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{13}{8}\right)\right\}\).