\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+4\sqrt{xy}=16\\x+y=10\end{cases}\left(ĐK:x,y>0\right)}\)

Đặt \(\sqrt{x}+\sqrt{y}=a\) ; \(\sqrt{xy}=b;a,b\ge0\). Phương trình trở thành :

\(\hept{\begin{cases}a+4b=16\\a^2-2b=10\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a+4b=16\\2a^2-4b=20\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}a+2a^2=36\\a+4b=16\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2a^2+a-36=0\\a+4b=16\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=4\\b=3\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\\\sqrt{xy}=3\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x+y=10\\xy=9\end{cases}\Leftrightarrow}\hept{\begin{cases}y=10-x\\x\left(10-x\right)=9\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}y=10-x\\-x^2+10x-9=0\end{cases}}\) \(\orbr{\begin{cases}x=9\\y=1\end{cases}}\)

                                                               \(\orbr{\begin{cases}x=1\\y=9\end{cases}}\)

Vậy \(\left(x,y\right)=\left(1;9\right)\) hoặc \(\left(x,y\right)=\left(9;1\right)\)

Chúc bạn học tốt !!!

ĐK : x,y \(\ge\)0

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+4\sqrt{xy}=16\\x+y=10\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+4\sqrt{xy}=16\\\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-2\sqrt{xy}=10\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}+4\sqrt{xy}=16\\2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2-4\sqrt{xy}=20\end{cases}\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2+\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)=36\\4\sqrt{xy}=16-\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\end{cases}}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{x}+\sqrt{y}=4\\\sqrt{xy}=3\end{cases}\left(1\right)}\)

giải ( 1 ) ta được : ( x ; y ) là hoán vị của ( 1; 9 )

Bạn ơi giải giúp mik bài toán vừa ra đc hk

Đặt câu hỏi xong thì nghĩ ra cách làm lun :v 

Đặt \(t=\sqrt{x}\left(t\ge0;t\in Z\right)\)

Khi đó: \(P=\frac{2t^2}{t-2}=\frac{2\left(t^2-4\right)+8}{t-2}\)

\(=2\left(t+2\right)+\frac{8}{t-2}\)

\(\Rightarrow P\in Z\Leftrightarrow\frac{8}{t-2}\in Z\)

<=> t-2 \(\in\)Ư(8)

Vì t\(\ge0\Rightarrow t-2\ge-2\)

\(\Rightarrow t-2\in\){-2;-1;1;2;4;8}

=> t\(\in\){0;1;3;4;6;10}

Thay t = \(\sqrt{x}\)rồi đối chiếu đ/k là xong :)

Áp dụng BĐT Cô-si, ta có : \(\sqrt{\frac{y+z}{x}.1}\le\frac{\frac{y+z}{x}+1}{2}=\frac{x+y+z}{2x}\)

\(\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)

Tương tự : ....

Cộng từng vế BĐT, ta được : \(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{x+z}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}x=y+z\\y=x+z\\z=x+y\end{cases}}\Rightarrow x+y+z=0\)( trái với gt ) nên dấu "=" không xảy ra

Ta có : \(M=\left(7x+7y\right)+\left(x+\frac{4}{x}\right)+\left(2y+\frac{50}{y}\right)\)

\(\ge7\left(x+y\right)+2\sqrt{x.\frac{4}{x}}+2\sqrt{2y.\frac{50}{y}}\)

\(\ge7.7+4+20=73\)

Dấu "=" xảy ra khi x = 2; y = 5

đề tuyển sinh Hà Nội. có mà ko tìm à

ĐK : \(0\le x\le1\)

\(\Rightarrow0\le1-x\le1\)\(\Rightarrow\sqrt{1-x}\ge1-x\)

Mà \(2\sqrt{x}\ge2x;\sqrt{1+x}\ge1\)

\(\Rightarrow P\ge1-x+2x+1=x+2\ge2\) 

\(\Rightarrow MinP=2\Leftrightarrow x=0\)

em đang ôn hsg lớp 9 nên không biết ạ 

+ Kẻ AH // FE // CI   \(\left(H,I\in BD\right)\)

+ \(\Delta AOH=\Delta COI\left(g.c.g\right)\)

\(\Rightarrow OH=OI\)

\(\Rightarrow BH+BI=BH+BO+OI\)

\(=BH+OH+BO=2BO=4BM\)

+ Xét \(\Delta ABH\)có : AH // FM theo định lí Ta - lét ta có : 

\(\frac{BA}{BF}=\frac{BH}{BM}\left(1\right)\)

+ Xét \(\Delta BCI\) có CI // ME theo định lí Ta - lét ta có : 

\(\frac{BC}{BE}=\frac{BI}{BM}\left(2\right)\)

+ Từ (1) và (2) \(\Rightarrow\)

\(\frac{BA}{BF}+\frac{BC}{BE}=\frac{BH}{BM}+\frac{BI}{BM}=\frac{BH+BI}{BM}=\frac{4BM}{BM}=4\)

Chúc bạn học tốt !!!

\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}.\frac{y+3z}{16}.\frac{1}{4}.\frac{1}{4}}=x\)

\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\)

Tương tự cho 2 BĐT còn lại : 

\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{z+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)

Công theo vế 3 BĐT trên ta được :

\(VT\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}.3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)

Chúc bạn học tốt !!!

Cách 2:

\(VT\ge\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)^2}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\frac{\left(x^2+y^2+z^2\right)\left(x+y+z\right)^2}{3}}{4\left(x+y+z\right)}\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)\left(x+y+z\right)}{12}\)

\(\ge\frac{\left(xy+yz+zx\right)\sqrt{3\left(xy+yz+zx\right)}}{12}\ge\frac{3}{4}\)

Đẳng thức xảy ra khi \(x=y=z=1\)