Em có cách khác không sử dụng Svacxo thưa cô :

Ta có : \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\)

\(=\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\right)+\left(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\right)+\left(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\right)-\frac{a+b+c}{2}\)

Áp dụng BĐT Cô si cho các số không âm ta được :

\(\left(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\right)+\left(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\right)+\left(\frac{c^2}{c+a}+\frac{c+a}{4}\right)-\frac{a+b+c}{2}\)

\(\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}\cdot\frac{a+b}{4}}+2\sqrt{\frac{b^2}{b+c}\cdot\frac{b+c}{4}}+2\sqrt{\frac{a^2}{b+c}\cdot\frac{c+a}{4}}-\frac{1}{2}\)

\(=a+b+c-\frac{1}{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=\frac{1}{3}\)

Có:

\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{a+b+b+c+c+a}=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)

Dấu "=" xảy ra <=> a = b = c = 1/3

Có: \(x^5+y^2=xy^2+1\)

<=> \(x^5-1=y^2\left(x-1\right)\)(1)

TH1: x = 1 

=> \(1^2+y^2=1.y^2+1\) đúng với mọi y

TH2: \(x\ne1\)

(1) <=> \(y^2=x^4+x^3+x^2+x+1\)

<=> \(4y^2=4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\)

Có:

+)  \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+4x^3+x^2+2x^2+x^2+4x+4\)

\(=\left(2x^2+x\right)^2+2x^2+\left(x+2\right)^2>\left(2x^2+x\right)^2\)

=> \(\left(2y\right)^2>\left(2x^2+x\right)^2\)

+) \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

=> \(\left(2y\right)^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

=> \(\left(2x^2+x\right)^2< \left(2y\right)^2\le\left(2x^2+x+2\right)^2\)

TH1: \(\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+2\right)^2\)

=> \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x\)

<=> x = 0 

=> \(y=\pm1\)

TH2: \(\left(2y\right)^2=\left(2x^2+x+1\right)^2\)

=> \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4x^4+x^2+1+4x^3+4x^2+2x\)

<=> \(2x+3-x^2=0\)

<=> \(\orbr{\begin{cases}x=-1\\x=3\end{cases}}\)

Với x = -1 => \(y=\pm1\)

Với x = 3 => \(y=\pm11\)

Kết luận:...

a/

Đặt \(\sqrt{1-x}=a\ge0\)

\(\Rightarrow\left(1-a\right)\sqrt[3]{1+a^2}=1-a^2\)

\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(\sqrt[3]{1+a^2}-1-a\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}1-a=0\left(1\right)\\\sqrt[3]{1+a^2}=1+a\left(2\right)\end{cases}}\)

\(\left(2\right)\Leftrightarrow1+a^2=1+a^3+3a^2+3a\)

\(\Leftrightarrow a^3+2a^2+3a=0\)

\(\Leftrightarrow a\left(a^2+2a+3\right)=0\)

b/ Đạt

\(\hept{\begin{cases}\sqrt{x+\frac{1}{x}}=a\\x-\frac{1}{x}=b\end{cases}}\)

\(\Rightarrow b+\sqrt{a^2+b}=a\)

\(\Leftrightarrow b^2+2b\sqrt{a^2+b}+a^2+b=a^2\)

\(\Leftrightarrow b\left(b+2\sqrt{a^2+b}+1\right)=0\)

Làm nôt

\(\hept{\begin{cases}mx+2my=m+1\\x+\left(m+1\right)y=2\end{cases}}\)

Để PT trên có nghiệm duy nhất:

\(\frac{m}{1}\ne\frac{2m}{m+1}\)

\(\Rightarrow m^2+m\ne2m\)

\(\Rightarrow m^2\ne m\Rightarrow m\ne0;m\ne1\)

\(\hept{\begin{cases}mx+2my=m+1\\x\left(m+1\right)y=2\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}mx+2my=m+1\\mx+m\left(m+1\right)y=2m\end{cases}}\)

\(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}mx+2my=m+1\\2my-m\left(m+1\right)y=m+1-2m\left(#\right)\end{cases}}\)

Từ (#) \(2my-m\left(m+1\right)y=m+1-2m\)

\(\Leftrightarrow2my-m^2y-my=1-m\)

\(\Leftrightarrow my-m^2y=1-m\)

\(\Leftrightarrow y\left(m-m^2\right)=1-m\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{1-m}{m-m^2}\)

\(\Leftrightarrow y=\frac{1-m}{m\left(1-m\right)}=\frac{1}{m}\)

Ta có \(x+\left(m+1\right)y=2\)

\(\Leftrightarrow x+\frac{m+1}{m}=2\)

\(\Leftrightarrow x=2-\frac{m+1}{m}=\frac{2m-m-1}{m}=\frac{m-1}{m}\)

=> PT trên ta có 1 nghiệm (x;y) = (m-1/m;1/m)

Ta có \(x+y=\frac{m-1}{m}+\frac{1}{m}=\frac{m}{m}=1\)

\(\Rightarrow y=1-x\)

=>điểm M (x;y) luôn thuộc 1 đường thẳng cố định khi m thay đổi

P/s về câu trường hợp thì mik ko chắc chắn có đúng không, bạn nên hỏi các thầy cô để chắc chắn ạ, sai-ib để mik sửa chữa ạ >:

Chuẩn hóa \(a+b+c=1\)

Khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với

\(\frac{a\left(1-a\right)}{1-2a+2a^2}+\frac{b\left(1-b\right)}{1-2b+2b^2}+\frac{c\left(1-c\right)}{1-2c+2c^2}\le\frac{6}{5}\)

Mặt khác:

\(2a\left(1-a\right)\le\left(\frac{2a+1-a}{2}\right)^2=\frac{\left(a+1\right)^2}{4}\)

Khi đó:\(1-2a+2a^2=1-2a\left(1-a\right)\ge1-\frac{\left(a+1\right)^2}{4}=\frac{\left(1-a\right)\left(a+3\right)}{4}>0\)

\(\Rightarrow\frac{a\left(1-a\right)}{1-2a+2a^2}\le\frac{4a\left(1-a\right)}{\left(1-a\right)\left(a+3\right)}=4\cdot\frac{a}{a+3}=4\left(1-\frac{3}{a+3}\right)\)

Tương tự rồi cộng lại ta được:

\(RHS\le4\left(3-\frac{3}{a+3}-\frac{3}{b+3}-\frac{3}{c+3}\right)\le4\left(3-\frac{3\cdot9}{a+b+c+9}\right)=\frac{6}{5}\)

Không cần a+b+c=1 thì BĐT vẫn đúng mà