a) Kẻ OP ⊥ AM, OQ ⊥ BN

Ta có: AM = BN (Giả thiết)

Suy ra: OP = OQ (hai dây bằng nhau cách đều tâm)

Xét hai tam giác OCP và OCQ, ta có:

Góc OPC= góc OQC=90^∘

         OC chung

         OP = OQ (chứng minh trên)

Suy ra:  ∆OCP = ∆OCQ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

 Góc O₁= góc O₂

Xét hai tam giác OAP và OBQ, ta có:

Góc OPA= góc OQB=90^∘

          OA = OB

          OP = OQ ( chứng minh trên)

Suy ra: ∆OAP = ∆OBQ (cạnh huyền, cạnh góc vuông)

 Góc O₃= Góc O₄

Suy ra:   Góc O₁+góc O₃= Góc O₂+ góc O₄ hay Góc AOC= Góc BOC

Vậy OC là tia phân giác của  Góc AOB

b) Tam giác OAB cân tại O có OC là tia phân giác nên OC đồng thời cũng là đường cao ( tính chất tam giác cân).

Suy ra: OC ⊥ AB.

Ta có : \(\Delta=\left[-2\left(m+1\right)\right]^2-4\left(m^2+3\right)=\left(-2m-2\right)^2-4\left(m^2+3\right)\)

\(=\left(2m+2\right)^2-4\left(m^2+3\right)=4m^2+8m+4-4m^2-12=8m-8\)

Để phương trình có nghiệm \(8m-8>0\Leftrightarrow m< 1\)

\(8m-8=0\Leftrightarrow m=1\)

Theo Vi et ta có \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{2m+2}{1}=2m+2\\x_1x_1=\frac{c}{a}=m^2+3\end{cases}}\)

\(P=2m+2+m^2+3=m^2+2m+5\)

\(=m^2+2m+1+4=\left(m+1\right)^2+4\ge4\)

Dấu ''='' xảy ra <=> m = -1 

Vậy GTNN P là 4 <=> m =-1 

Để phương trình 1 có nghiệm \(=>\Delta\ge0\)

\(\Delta=4.\left(m+1\right)^2-4.\left(m^2+3\right)=4m^2+8m+4-4m^2-12=8m-8\ge0=>m\ge1\)

Cho phương trình x² + ( m - 3 )x - 2m - 1 = 0 (1)

a) Với m = 1, thay vào (1) ta được pt : x² - 2x - 3 = 0

Dễ thấy pt trên có a - b + c = 1 + 2 - 3 = 0

nên pt có hai nghiệm x₁ = -1 ; x₂ = -c/a = 3

Vậy với m = 1 thì pt có hai nghiệm x₁ = -1 ; x₂ = 3

b) Xét Δ ta có :

Δ = b² - 4ac = ( m - 3 )² - 4( -2m - 1 ) 

= m² - 6m + 9 + 8m + 4 

= m² + 2m + 13

Dễ thấy Δ = m² + 2m + 13 = ( m + 1 )² + 12 ≥ 12 > 0 ∀ m

hay (1) luôn có hai nghiệm với mọi m (đpcm)

c) lỗi quá e k nhìn rõ đề

a, Thay m = 1 vào phương trình ta được :

\(x^2-2x-3=0\Leftrightarrow x^2-2x+1-4=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2-4=0\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=3\\x=-1\end{cases}}\)

Vậy với m = 1 thì x = -1 ; x = 3 

b, \(x^2+\left(m-3\right)x-2m-1=0\Leftrightarrow x^2+\left(m-3\right)x-\left(2m+1\right)=0\)

\(\Delta=\left(m-3\right)^2+4\left(2m+1\right)=m^2-6m+9+8m+4\)

\(=m^2+2m+13=m^2+2m+\frac{1}{4}+\frac{51}{4}\)

\(=\left(m+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{51}{4}>0\forall m\)

Vậy phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi giá trị m 

Theo Viet \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=-1\\x_1x_2=\frac{c}{a}=-7\end{cases}}\)

Ta có : \(C=x_1\left(x_2+1\right)+x_2\left(x_1+1\right)\)

\(=x_1x_2+x_1+x_1x_2+x_2=2x_1x_2+x_1+x_2\)

\(\Rightarrow C=-14-1=-15\)

んuﾘ ｲ không giải phương trình 

Theo hệ thức Vietè ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}\\x_1x_2=\frac{c}{a}\end{cases}}\)

Khi đó : \(C=x_1\left(x_2+1\right)+x_2\left(x_1+1\right)=x_1x_2+x_1+x_1x_2+x_2\)

\(=2x_1x_2+\left(x_1+x_2\right)=\frac{2c}{a}-\frac{b}{a}=\frac{2c-b}{a}=\frac{-14-1}{1}=-15\)

Vậy ...

    a) Thay m = -12 vào phương trình ta có 

                    x² + 5x – 14 = 0 

           <=>  x² + 7x  - 2x  - 14 = 0 

           <=>  (x² + 7x ) - (2x  + 14) = 0

           <=>   x(x + 7) - 2(x  +  7) = 0

           <=>   (x  -  2)( x  +  7)  =  0

           <=>   x - 2 = 0    hoặc  x  +  7  =  0

           <=>   x  =  2        hoặc   x  =  -7

          Vậy tập nghiệm của phương trình là  S={-7  ; 2  }

                   Em chỉ iết làm câu này câu sau em xin lỗi!

a, Thay m =-12 vào phương trình trên ta được : 

\(PT\Leftrightarrow x^2+5x-14=0\)

Ta có : \(\Delta=25-4\left(-14\right)=25+56=81>0\)

Vậy ta có 2 nghiệm phân biệt 

\(x_1=\frac{-5-9}{2}=-7;x_2=\frac{-5+9}{2}=2\)

Vậy với m = -12 thì x = -7 ; 2 

b, Theo Vi et ta có : \(\hept{\begin{cases}x_1+x_2=-\frac{b}{a}=\frac{-5}{2}\\x_1x_2=\frac{c}{a}=\frac{m-2}{2}\end{cases}}\)

Ta có : \(\frac{1}{x_1-1}+\frac{1}{x_2-1}=2\)ĐK : \(x_1\ne1;x_2\ne1\)

Gọi \(x_1=a;x_2=b\)( em đặt cho dễ viết thôi nhé )

\(\frac{1}{a-1}+\frac{1}{b-1}=2\)

\(\Leftrightarrow\frac{b-1+a-1}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}=\frac{2\left(a-1\right)\left(b-1\right)}{\left(a-1\right)\left(b-1\right)}\)

\(\Rightarrow a+b-2=2\left(ab-a-b+1\right)\)

\(\Leftrightarrow a+b-2=2\left[ab-\left(a+b\right)+1\right]\)

hay \(-\frac{5}{2}-2=2\left(\frac{m-2}{2}+\frac{5}{2}+1\right)\)

\(\Leftrightarrow\frac{-9}{2}=2\left(\frac{m+5}{2}\right)\Leftrightarrow\frac{-9}{2}=\frac{2m+10}{2}\)

\(\Rightarrow2m+10=-9\Leftrightarrow m=-\frac{19}{2}\)

1) Thay x=0;y=1 vào (d)=>m=2

Hoành độ giao điểm là nghiệm của phương trình:\(x^2=x+m-1\)

\(x^2-x-m+1=0\)2 điểm phân biệt => \(\Delta>0\)

\(\Delta>0=>1-4.\left(-m+1\right)=4m-3>0=>m>\frac{3}{4}\)

Áp dụng hệ thức Vi-ét:

\(x_1+x_2=1;x_1x_2=-m+1\)

\(4.\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)-x_1x_2+3=0=>4.\left(\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}\right)-x_1x_2+3=0\)

\(\Rightarrow\frac{4}{-m+1}+m-1+3=0=>\frac{4}{-m+1}+m-2=0=>m^2-3m-2=0\)

Dùng công thức nghiệm được \(\Rightarrow x_1=\frac{3-\sqrt{17}}{2}\left(KTM\right);x_2=\frac{3+\sqrt{17}}{2}\left(TM\right)\)

Vậy...