Lời giải:

Áp dụng BĐT $|a|+|b|\geq |a+b|$ ta có:

$|3x+1|+|3x-5|=|3x+1|+|5-3x|\geq |3x+1+5-3x|=6$

$(y+3)^2+2\geq 2, \forall y\Rightarrow \frac{12}{(y+3)^2+2}\leq \frac{12}{2}=6$

Vậy:

$|3x+1|+|3x-5|\geq 6\geq \frac{12}{(y+3)^2+2}$
Dấu "=" xảy ra (3x+1)(5-3x)\geq 0$ và $y+3=0$

$\Leftrightarrow \frac{-1}{3}\leq x\leq \frac{5}{3}$ và $y=-3$

Câu hỏi của Nguyễn Thị Vân - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

Em tham khảo tại link bên trên nhé.

Lời giải:
\(S=1+\frac{2.3}{2.2}+\frac{3.4}{2.3}+\frac{4.5}{2.4}+...+\frac{100.101}{2.100}\\ =1+\frac{3}{2}+\frac{4}{2}+\frac{5}{2}+...+\frac{101}{2}\\ =\frac{2+3+4+...101}{2}=\frac{1+2+3+...+101}{2}-\frac{1}{2}\\ =\frac{101.102}{2.2}-\frac{1}{2}=2575\)

Xét tam giác ABC có AB = AC

=> tam giác ABC cân tại A

=> góc ABC = góc ACB

Xét tam giác ABM và tam giác ACM có

AB = AC (gt)

góc ABC = góc ACB (cmt)

MB = MC (gt)

Vậy tam giác ABM = tam giác ACM (c.g.c)

=> góc AMB = góc AMC (2 góc tương ứng)

mà góc AMB + góc AMC = 180 độ (kề bù)

nên góc  AMB = AMC = 180 độ/2 = 90 độ

=> AM  |  BC

50+90+a+b=70.4=280
mà a=3/4b
nên 3/4b+b=280-50-90 => b=80
=> a=60

Xét tam giác ABC ta có : \(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^o\)

=> \(\widehat{ABC}=60^o\)

Xét tam giác BCD ta có \(\widehat{BCD}+\widehat{CBD}+\widehat{BDC}=180^o\)

                                  => \(\widehat{BCD}=30^o\)

Ta có : \(\widehat{ACD}+\widehat{BCD}=90^o\)=>  \(\widehat{ACD}=60^o\)

Xét tam giác CDE có \(\hept{\begin{cases}\widehat{CED}=90^o\\\widehat{DCE}=60^o\end{cases}}\)

=> Tam giác CDE nửa đều   =>  CE = 1/2.CD             (1)

Xét tam giác ACD có \(\hept{\begin{cases}\widehat{ADC}=90^o\\\widehat{ACD}=60^o\end{cases}}\)

=> Tam giác ACD nửa đều  =>  CD = 1/2.AC               (2)

Từ (1) và (2) => CE = 1/4.AC

=> AE = 3/4.AC  => AE = 7,5 ( cm )

Vậy AE = 7,5 cm