vì a,b dương nên BĐT đã cho tương đương với :

\(\frac{a}{b^2}-\frac{1}{b}+\frac{b}{a^2}-\frac{1}{a}+4\left(\frac{4}{a+b}-\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{a-b}{b^2}+\frac{b-a}{a^2}+4.\frac{4ab-\left(a+b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)}{a^2b^2}-\frac{4\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left[\left(a+b\right)^2-4ab\right]\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^4\ge0\)( luôn đúng )

Dấu "=" xảy ra khi a = b

a ) Ta có : \(BD\perp AC,CE\perp AB\)

\(\Rightarrow\widehat{ADH}=\widehat{AEH}=90^0,\widehat{BDC}=\widehat{BEC}=90^0\)

\(\Rightarrow ADHE,BEDC\) nội tiếp

b . Ta có : \(\widehat{DHC}=\widehat{EHB},\widehat{HDC}=\widehat{HEB}=90^0\)

\(\Rightarrow\Delta HDC~\Delta HEB\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{HD}{HE}=\frac{HC}{HB}\Rightarrow HD.HB=HE.HC\)

c . Vì H là trực tâm \(\Delta ABC\Rightarrow AH\perp BC=F\)

Lại có : \(\widehat{AHD}=\widehat{CBF}\left(+\widehat{FAC}=90^0\right)\)

\(\widehat{AID}=\widehat{ACB}\Rightarrow\widehat{AID}=\widehat{AHD}\)

\(\Rightarrow\Delta AHI\) cân tại A 

Mà \(AD\perp HI\Rightarrow AD\) là trung trực của HI \(\Rightarrow\)AC là đường trung trực của của HI.

d ) Từ câu c \(\Rightarrow AI=AH\)

Tương tự \(\Rightarrow AK=AH\Rightarrow A\) là tâm đường tròn ngoại tiếp \(\Delta HIK\)

a.Vì  DC,DA là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow DC=DA\)

Tương tự \(EC=EB\Rightarrow DE=DC+CE=AD+BE\)

Mà EC,EB là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow EC\perp OC,EB\perp OC\)

=> C,O,B,E cùng thuộc một đường tròn đường kính OE

b ) Ta có : EB,EC là tiếp tuyến của (O) \(\Rightarrow EO\perp CB=L\)

Mà VL là đường kính của (O)

\(\Rightarrow LK.LV=CL^2=LO.LE\)

c.Ta có :

\(\widehat{VCL}=\widehat{CBV}=\widehat{ECV}\) vì EC là tiếp tuyến của (O)

\(\Rightarrow CV\) là phân giác \(\widehat{ECL}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}=\frac{CL}{CE}\)

Lại có : \(\Delta CLE~\Delta OCE\left(g.g\right)\)

\(\Rightarrow\frac{CL}{CE}=\frac{OC}{OE}\)

Lại có : \(OC^2=OL.OE\Rightarrow\frac{OC}{OE}=\frac{OL}{OC}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}=\frac{OC}{OE}=\frac{OL}{OC}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}=\frac{OL}{R}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL}{R}+\frac{2VL}{KV}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL}{R}+\frac{2VL}{2R}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL}{R}+\frac{VL}{R}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{OL+VL}{R}\)

\(\Rightarrow\frac{VL}{VE}+\frac{2VL}{KV}=\frac{R}{R}=1\)

\(\Rightarrow\frac{1}{VL}-\frac{1}{VE}=\frac{2}{KV}\)

Ta có M = \(\frac{2}{1+\sqrt{a}}\le2\)

Mà để 18M là số chính phương thì M = 2 

=> \(\frac{2}{1+\sqrt{a}}\)=2

=> 1 + \(\sqrt{a}\)=1

<=> \(\sqrt{a}=0\Rightarrow a=0\)( thỏa mãn đk) 

Vậy a = 0 

\(18M=\frac{36}{1+\sqrt{a}}\)do 36 là số chính phương nên 18M là số chính phương thì 1+\(\sqrt{a}\inƯ\left(36\right)\)chính phương

=> \(1+\sqrt{a}\in\left\{1;4;9;36\right\}\)

\(\Rightarrow a=\left\{9;64;1225\right\}\)với \(a>0;a\ne1\)

Bài 1 : 

Ta có : 

\(x^7+\frac{1}{x^7}=\left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)\left(x^4+\frac{1}{x^4}\right)-\left(x+\frac{1}{x}\right)\)

\(\left(x+\frac{1}{x}\right)=a\Leftrightarrow\left(x+\frac{1}{x}\right)^2=a^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}+2.x.\frac{1}{x}=a^2\)

\(\Leftrightarrow x^2+\frac{1}{x^2}=a^2-2\)

\(x^3+\frac{1}{x^3}=\left(x+\frac{1}{x}\right)\left(x^2-x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}\right)\)

               \(=a\left(x^2+\frac{1}{x^2}-1\right)=a\left(a^2-3\right)\)

\(x^4+\frac{1}{x^4}=\left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)^2-2.x^2.\frac{1}{x^2}\)

                   \(=\left(a^2-2\right)^2-2=a^4-4a^2+4-2\)

                                                               \(=a^4-4a^2+2\)

\(\Rightarrow x^7+\frac{1}{x^7}=a.\left(a^2-3\right).\left(a^4-4a^2+2\right)-a\)

                      \(=\left(a^3-3a\right)\left(a^4-4a^2+2\right)-a\)

                         \(=a^7-4a^5+2a^3-3a^5+12a^3-6a-a\)

                          \(=a^7-7a^5+14a^3-7a\)

Bài 2 : 

Ta có : 

\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=2\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=2^2\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=4\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=\frac{2}{xy}-\frac{1}{z^2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{2}{z^2}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x^2}+\frac{2}{xz}+\frac{1}{z^2}\right)+\left(\frac{1}{y^2}+\frac{2}{yz}+\frac{1}{z^2}\right)=0\)

\(\Rightarrow\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2+\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2=0\)

\(\Rightarrow\frac{1}{x}+\frac{1}{z}=\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=0\) vì \(\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{z}\right)^2,\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)^2\ge0\)

\(\Rightarrow x=y=-z\)

\(\Rightarrow\frac{1}{-z}+\frac{1}{-z}+\frac{1}{z}=2\Rightarrow-\frac{1}{z}=2\Rightarrow z=-\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x=y=\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow x+2y+z=\frac{1}{2}+2.\frac{1}{2}-\frac{1}{2}=1\)

\(\Rightarrow P=1\)

      \(2m^2+2m=12\)                                                                                                                              \(\Leftrightarrow2m^2+2m-12=0\)                                                                                                                     \(\Leftrightarrow2\left(m^2+m-6\right)=0\)                                                                                                                                                                \(\Leftrightarrow2\left(m-2\right)\left(m+3\right)=0\) \(\Leftrightarrow\left(m-2\right)\left(m+3\right)=0\)  \(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m-2=0\\m+3=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}m=2\\m=-3\end{cases}}\)                       Vậy m=2 hoặc m=-3